试题

在直角坐标系内有函数y=

1

2x

（x＞0）和一条直线的图象，直线与x、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=l，点P为曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴作垂线PM、PN（M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．
（1）如果交点E、F都在线段AB上（如图），分别求出E、F点的坐标（只需写出答案．不需写出计算过程）；
（2）当点P在曲线上移动，试求△0EF的面积（结果可用a、b的代数式表示）；
（3）如果AF=

6

2

，求

OF

OE

的值．

解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；（2分）

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a(1-a)-

1

2

b(1-b)-

1

2

(a+b-1)2，
=

1

2

(a+b-1)；（4分）

（3）∵AF=

6

2

点F（1-b，b）
∴2b2=(

6

2

)2
∴b=

3

2

∴

3

2

=

1

2a

a=

3

3

由点F和点E的坐标可以求得：
OF=

6

2

，OE=

15-2 3

3

，
∴

OF

OE

=

3 90-12 3

30-4 3

．
解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；（2分）

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a(1-a)-

1

2

b(1-b)-

1

2

(a+b-1)2，
=

1

2

(a+b-1)；（4分）

（3）∵AF=

6

2

点F（1-b，b）
∴2b2=(

6

2

)2
∴b=

3

2

∴

3

2

=

1

2a

a=

3

3

由点F和点E的坐标可以求得：
OF=

6

2

，OE=

15-2 3

3

，
∴

OF

OE

=

3 90-12 3

30-4 3

．