试题

题目：
一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点．
（1）点B是反比例函数图象上一点，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，四边形OCBD的周长为8，求OB长．
（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，在反比例函数图象上是否存在点P（记横坐标为m）使得△APA′面积为2m？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）设反比例函数的解析式是：y=
k
x
，把A的坐标代入得：k=3，
则函数的解析式是：y=
3
x
；
设B的坐标是（a，b），则ab=3，
∵四边形OCBD的周长为8，
∴|a|+|b|=4，
∴OB=
|a|2+|b|2
=
(|a|+|b|)2-2|a||b|
=
16-2×3
=
10
；

（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，则A′的坐标是（-1，-3），
AA’所在直线方程为y=3x，
AA’=2
10
，P坐标为（m，
3
m
）
点P到直线 AA’的距离d=
|3m-
3
m
|
1+32
=
|3m-
3
m
|
10

面积S=
1
2
×2
10
·
|3m-
3
m
|
10
=|3m-
3
m
|=2m，
①3m-
3
m
＞0时，m∈（-1，0）∪（1，+∞）
  3m-
3
m
=2m，解得m=
3
或-
3
（-
3
不合题意，舍去）；
②3m-
3
m
＜0时，m∈（-∞，-1）∪（0，1）
  3m-
3
m
=-2m  解得m=
15
5
或-
15
5
（-
15
5
不合题意，舍去）．
解：（1）设反比例函数的解析式是：y=
k
x
，把A的坐标代入得：k=3，
则函数的解析式是：y=
3
x
；
设B的坐标是（a，b），则ab=3，
∵四边形OCBD的周长为8，
∴|a|+|b|=4，
∴OB=
|a|2+|b|2
=
(|a|+|b|)2-2|a||b|
=
16-2×3
=
10
；

（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，则A′的坐标是（-1，-3），
AA’所在直线方程为y=3x，
AA’=2
10
，P坐标为（m，
3
m
）
点P到直线 AA’的距离d=
|3m-
3
m
|
1+32
=
|3m-
3
m
|
10

面积S=
1
2
×2
10
·
|3m-
3
m
|
10
=|3m-
3
m
|=2m，
①3m-
3
m
＞0时，m∈（-1，0）∪（1，+∞）
  3m-
3
m
=2m，解得m=
3
或-
3
（-
3
不合题意，舍去）；
②3m-
3
m
＜0时，m∈（-∞，-1）∪（0，1）
  3m-
3
m
=-2m  解得m=
15
5
或-
15
5
（-
15
5
不合题意，舍去）．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）首先利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，B的坐标是（a，b），则ab=3；四边形OCBD的周长为8，|则a|+|b|=4，根据完全平方公式即可求解；
（2）A′的坐标以及直线AA′的解析式可以求得，然后根据点到直线的距离即可利用m表示出点P到直线 AA’的距离，利用三角形的面积公式即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及三角形的面积，正确求得P到直线 AA’的距离是关键．
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