试题

直线y=x+b与双曲线y=

m

x

（x＜0）交于点A（-1，-5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）直接写出b=，m=．
（2）根据图象直接写出不等式x+b＜

m

x

的解集为．
（3）连接OA，求∠OAB的正弦值．
（4）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将A（-1，-5）代入直线y=x+b中，得：-5=-1+b，即b=-4，
将A（-1，-5）代入双曲线解析式得：-5=

m

-1

，即m=5；
（2）由图象可得：不等式x+b＜

m

x

的解集为x＜-1；
（3）过O作OH⊥BC，垂足为H，
对于直线y=x-4，令y=0求出x=4，即C（4，0），令x=0求出y=-4，即B（0，-4），
∴OB=OC=4，即△BOC为等腰直角三角形，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，
∴OH=

1

2

BC=2

2

，
由点O（0，0），A（-1，-5），得：OA=

26

，
在Rt△OAH中，sin∠OAB=

2 2

26

=

2 13

13

；
（4）由（3）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH=BH=2

2

，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH=

AO2-OH2

=

26-8

=3

2

，
∴AB=AH-BH=

2

，
∴当点D在C点右侧时，∠OBA=∠DCB=135°，
①当

CD

CB

=

BA

BO

，即

CD

4 2

=

2

4

时，解得CD=2，
∵C（4，0），即OC=4，∴OD=OC+CD=2+4=6，
此时D坐标为（6，0）；
②当

CD

CB

=

BO

BA

，即

CD

4 2

=

4

2

时，解得CD=16，
∵C（4，0），即OC=4，∴OD=OC+CD=16+4=20，
此时D坐标为（20，0），
综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．
故答案为：（1）-6；5；（2）x＜-1