试题

（2013·竹溪县模拟）如图1，已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

2

x交于A，B两点，点A在第一象限，点A的横坐标为4．

（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）如图2，过原点的另一条直线交双曲线于P、Q两点，若由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，求点P的坐标．

解：（1）将x=4代入y=

1

2

x=2，即A（4，2），
将A（4，2）代入反比例解析式得：k=8；

（2）过C作CD⊥x轴，作AE⊥x轴，
将y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=

1

2

×1×8+

1

2

×（2+8）×3-

1

2

×4×2=15；

（3）设P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，
若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，
∵由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，OP=OQ，OA=OB，即四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON=

1

4

×24=6，即

1

2

x·

8

x

+

1

2

×（4-x）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P（-2，-4）；
若P在A的右侧，同理可得4+

1

2

×（x-4）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=8，此时P坐标为（8，1）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P坐标为（-8，-1），
综上，P坐标为（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

解：（1）将x=4代入y=

1

2

x=2，即A（4，2），
将A（4，2）代入反比例解析式得：k=8；

（2）过C作CD⊥x轴，作AE⊥x轴，
将y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=

1

2

×1×8+

1

2

×（2+8）×3-

1

2

×4×2=15；

（3）设P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，
若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，
∵由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，OP=OQ，OA=OB，即四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON=

1

4

×24=6，即

1

2

x·

8

x

+

1

2

×（4-x）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P（-2，-4）；
若P在A的右侧，同理可得4+

1

2

×（x-4）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=8，此时P坐标为（8，1）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P坐标为（-8，-1），
综上，P坐标为（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．