试题

（2001·福州）如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求点B坐标和k的值．
（2）当S=

9

2

时，求P的坐标．
（3）写出S关于m的函数关系式．

解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA=OC=3，
∴B（3，3）．
又∵点B（3，3）在函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)的图象上，
∴k=9． （2分）

（2）分两种情况：
①当点P₁在点B的左侧时，
∵P₁（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴S=m(n-3)=mn-3m=

9

2

∴m=

3

2

，
∴n=6．
∴P1(

3

2

，6)；
②当点P₂在点B或B的右侧时，
∵P₂（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴S=(m-3)n=mn-3n=

9

2

，
∴n=

3

2

，
∴m=6．
∴P2(6，

3

2

)．（6分）

（3）当0＜m＜3时，S=9-3m；
当m≥3时，当x=m时，P的纵坐标是

9

m

，
则与矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是边长是3，宽是

9

m

的矩形，
则面积是：

27

m

，
因而S=9-

27

m

．（2分）
解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA=OC=3，
∴B（3，3）．
又∵点B（3，3）在函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)的图象上，
∴k=9． （2分）

（2）分两种情况：
①当点P₁在点B的左侧时，
∵P₁（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴S=m(n-3)=mn-3m=

9

2

∴m=

3

2

，
∴n=6．
∴P1(

3

2

，6)；
②当点P₂在点B或B的右侧时，
∵P₂（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴S=(m-3)n=mn-3n=

9

2

，
∴n=

3

2

，
∴m=6．
∴P2(6，

3

2

)．（6分）

（3）当0＜m＜3时，S=9-3m；
当m≥3时，当x=m时，P的纵坐标是

9

m

，
则与矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是边长是3，宽是

9

m

的矩形，
则面积是：

27

m

，
因而S=9-

27

m

．（2分）