试题

（2005·河源）已知直线y=-x+2m+1与双曲线y=

m2+1

x

有两个不同的公共点A、B．
（1）求m的取值范围；
（2）点A、B能否关于原点中心对称？若能，求出此时m的值；若不能，说明理由．

解：（1）∵直线y=-x+2m+1与双曲线y=

m2+1

x

有两个不同的公共点A、B，
∴

y=-x+2m+1 y= m2+1 x

，
∴-x+2m+1=

m2+1

x

，
∴根据根的判别式可知：m＞

3

4

；

（2）解法一：若A，B关于原点中心对称，则它们的纵横坐标互为相反数，
所以方程（1）的两根互为相反数，
得2m+1=0，解得：m=-

1

2

，与m＞

3

4

矛盾，
∴A，B不可能关于原点中心对称．
解法二：若A、B两点关于原点中心对称，
则直线y=-x+2m+1过坐标原点，2m+1=0，m=-

1

2

，
此时直线为y=-x，所以A、B分别在第二、四象限，
由y=

m2+1

x

知，A、B应在第一、三象限，矛盾，
故A、B不能关于原点中心对称．
解：（1）∵直线y=-x+2m+1与双曲线y=

m2+1

x

有两个不同的公共点A、B，
∴

y=-x+2m+1 y= m2+1 x

，
∴-x+2m+1=

m2+1

x

，
∴根据根的判别式可知：m＞

3

4

；

（2）解法一：若A，B关于原点中心对称，则它们的纵横坐标互为相反数，
所以方程（1）的两根互为相反数，
得2m+1=0，解得：m=-

1

2

，与m＞

3

4

矛盾，
∴A，B不可能关于原点中心对称．
解法二：若A、B两点关于原点中心对称，
则直线y=-x+2m+1过坐标原点，2m+1=0，m=-

1

2

，
此时直线为y=-x，所以A、B分别在第二、四象限，
由y=

m2+1

x

知，A、B应在第一、三象限，矛盾，
故A、B不能关于原点中心对称．