试题

（2007·达州）阅读下列材料，回答问题．
材料一：人们习惯把形如y=x+

k

x

(k＞0)的函数称为“根号函数”，这类函数的图象关于原点中心对称．
材料二：对任意的实数a、b而言，a²-2ab+b²=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．
易知当a=b时，（a-b）²=0，即：a²-2ab+b²=0，所以a²+b²=2ab．
若a≠b，则（a-b）²＞0，所以a²+b²＞2ab．
材料三：如果一个数的平方等于m，那么这个数叫做m的平方根（square root）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．0的平方根是0，负数没有平方根．
问题：
（1）若“根号函数”y=x+

1

x

在第一象限内的大致图象如图所示，试在网格内画出该函数在第三象限内的大致图象；
（2）请根据材料二、三给出的信息，试说明：当x＞0时，函数y=x+

1

x

的最小值为2．

解：（1）根据材料一，函数的图象关于原点中心对称，可得函数图象：
（2）∵x＞0，
∴y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

，
又∵x²+

1

x2

-2x·

1

x

=（x-

1

x

）²≥0，
∴x²+

1

x2

≥2，
∴y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

≥

2+2

=2，
即y≥2，
∴函数y=x+

1

x

的最小值为2．
解：（1）根据材料一，函数的图象关于原点中心对称，可得函数图象：
（2）∵x＞0，
∴y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

，
又∵x²+

1

x2

-2x·

1

x

=（x-

1

x

）²≥0，
∴x²+

1

x2

≥2，
∴y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

≥

2+2

=2，
即y≥2，
∴函数y=x+

1

x

的最小值为2．