试题

（2009·肇庆）已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

（1）解：把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；（5分）

（3）解：抛物线顶点的坐标为M(-

p

2

，

4q-p2

4

)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，
∴

x1+x2=-p x1x2=q

，
∴|AB|=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

p2-4q

．（7分）
∴S△AMB=

1

2

|AB|·|

4q-p2

4

|=

1

8

(p2-4q)

p2-4q

，（8分）
要使S_△AMB最小，只须使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S_△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（10分）
（1）解：把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；（5分）

（3）解：抛物线顶点的坐标为M(-

p

2

，

4q-p2

4

)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，
∴

x1+x2=-p x1x2=q

，
∴|AB|=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

p2-4q

．（7分）
∴S△AMB=

1

2

|AB|·|

4q-p2

4

|=

1

8

(p2-4q)

p2-4q

，（8分）
要使S_△AMB最小，只须使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S_△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（10分）