试题

题目：
已知二次函数f（x）=x2-2x-n2-n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），则式子
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2008
+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
b2008
=
-
4016
2009
-
4016
2009
．
答案
-
4016
2009

解：∵二次函数f（x）=x2-2x-n2-n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），
∴x2-2x-n2-n=0的两根为an，bn，
∴an+bn=2，an·bn=-n2-n=-n（n+1），
∴a1+b1=2，a1·b1=-1×2，a2+b2=2，a2·b2=-2×3，
∴原式=
1
a1
+
1
b1
+
1
a2
+
1
b2
+…+
1
a2008
+
1
b2008

=
a1+b1
a1b1
+…+
a2008+b2008
a2008·b2008

=
2
-1×2
+
2
-2×3
+…+
2
-2008×2009

=-2×（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2008
-
1
2009
）
=-2×（1-
1
2009
）
=-
4016
2009
．
故答案为-
4016
2009
．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
根据题意得到x2-2x-n2-n=0的两根为an，bn，再根据根与系数的关系得到an+bn=2，an·bn=-n2-n=-n（n+1），则a1+b1=2，a1·b1=-1×2，a2+b2=2，a2·b2=-2×3，…，然后把原式分别通分得到原式=
a1+b1
a1b1
+…+
a2008+b2008
a2008·b2008
，则原式=
2
-1×2
+
2
-2×3
+…+
2
-2008×2009
=-2×（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2008
-
1
2009
）=-2×（1-
1
2009
）．
本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
计算题．
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