试题

题目：
若函数f（x）=ax2+bx+c的图象通过点（-1，1）、（α，0）与（β，0），则用α、β表示f（1）得f（1）=
(α-1)·(β-1)
(α+1)·(β+1)
(α-1)·(β-1)
(α+1)·(β+1)
．
答案
(α-1)·(β-1)
(α+1)·(β+1)

解：由韦达定理，得α+β=-
b
a
，αβ=
c
a
，
∴b=-a（α+β），c=aαβ，
故f（x）=ax2-a（α+β）x+aαβ=a（x-α）（x-β），
又f（-1）=1，
∴a（-1-α）（-1-β）=1，
a=
1
(α+1)(β+1)
，
故f（x）=
(x-α)·(x-β)
(α+1)·(β+1)
，
∴f（1）=
(1-α)·(1-β)
(α+1)·(β+1)
=
(α-1)·(β-1)
(α+1)·(β+1)
．
故答案为：
(α-1)·(β-1)
(α+1)·(β+1)
．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数的图象．
根据韦达定理推出二次函数的交点式，再将（-1，1）代入交点式，求出a的表达式，然后将a的表达式和x=-1代入解析式即可得f（1）的值．
此题考查了抛物线的交点式、一元二次方程根与系数的关系，体现了数形结合在解题中的作用．另外此题对计算能力要求较高，计算时要仔细．
计算题；数形结合．
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