试题

（2009·西城区一模）已知：反比例函数y=

2

x

和y=

8

x

在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在y=

8

x

的图象上，AB∥y轴，与y=

2

x

的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y=

2

x

，y=

8

x

的图象交于点C、D．
（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；
（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；
（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标．

解：（1）如图，由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（

1

2

，4），D（8，1）．（1分）
解一：直线CD的解析式为y=-

2

5

x+

21

5

．（2分）
∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴x=2时，y=-

2

5

×2+

21

5

=

17

5

．
∴点F的坐标为(2，

17

5

)．（3分）
解二：AC=

3

2

，BD=6，AB=3．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴△ACF∽△BDF．
∴

AF

BF

=

AC

BD

=

1

4

．
∴

AF

AB

=

1

5

，AF=

3

5

，点F的纵坐标为

17

5

．（2分）
∴点F的坐标为(2，

17

5

)；（3分）

（2）如图，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、
B、C、D的坐标分别为A(m，

8

m

)，B(m，

2

m

)，C(

m

4

，

8

m

)，D(4m，

2

m

)．
S△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×

3m

4

×

6

m

=

9

4

．（4分）
S_△OBC=S_梯形CNMB+S_△OCN-S_△OBM=S_梯形CNMB=

1

2

(

8

m

+

2

m

)×

3m

4

=

15

4

（5分）
∴S_△OBC＞S_△ABC；（6分）


（3）点A的坐标为（2，4）．（7分）
解：（1）如图，由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（

1

2

，4），D（8，1）．（1分）
解一：直线CD的解析式为y=-

2

5

x+

21

5

．（2分）
∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴x=2时，y=-

2

5

×2+

21

5

=

17

5

．
∴点F的坐标为(2，

17

5

)．（3分）
解二：AC=

3

2

，BD=6，AB=3．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴△ACF∽△BDF．
∴

AF

BF

=

AC

BD

=

1

4

．
∴

AF

AB

=

1

5

，AF=

3

5

，点F的纵坐标为

17

5

．（2分）
∴点F的坐标为(2，

17

5

)；（3分）

（2）如图，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、
B、C、D的坐标分别为A(m，

8

m

)，B(m，

2

m

)，C(

m

4

，

8

m

)，D(4m，

2

m

)．
S△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×

3m

4

×

6

m

=

9

4

．（4分）
S_△OBC=S_梯形CNMB+S_△OCN-S_△OBM=S_梯形CNMB=

1

2

(

8

m

+

2

m

)×

3m

4

=

15

4

（5分）
∴S_△OBC＞S_△ABC；（6分）


（3）点A的坐标为（2，4）．（7分）