试题

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=

5

，AD=

1

2

OD，点B的横坐标为

1

2

（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设AD=x，则OD=2x，又OA=

5

，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
即x²+（2x）²=（

5

）²，
化简得：5x²=5，解得x=1或x=-1（舍去），
所以AD=1，OD=2，
则A的坐标为（-2，1），
设反比例解析式为y=

k

x

（k≠0），
把A的坐标代入反比例解析式得：k=-2，
则反比例函数的解析式为y=-

2

x

；

（2）把B的横坐标x=

1

2

代入反比例解析式y=-

2

x

得：y=-4，
所以B的坐标为（

1

2

，-4），又A（-2，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A和B的坐标代入解析式得：

1 2 k+b=-4 -2k+b=1

，
解得：

k=-2 b=-3

，
则直线AB的解析式为：y=-2x-3，
令y=0，解得x=-

3

2

，则C（-

3

2

，0），故OC=

3

2

，
则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

OC·|y_{A的纵坐标}|+

1

2

OC·|y_{B的纵坐标}|
=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×|-4|=

15

4

；

（3）存在．
∵A（-2，1），且反比例函数图象关于y=-x对称，
∴当P与A关于y=-x对称时，△OAP为等腰三角形，此时P₁（-1，2）；
当P与P₁关于原点对称时，△OAP为等腰三角形，此时P₂（1，-2）；
当P与P₂关于y=-x对称时，P₃（2，-1），O、A、P三点共线，△OAP不能为等腰三角形．
解：（1）设AD=x，则OD=2x，又OA=

5

，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
即x²+（2x）²=（

5

）²，
化简得：5x²=5，解得x=1或x=-1（舍去），
所以AD=1，OD=2，
则A的坐标为（-2，1），
设反比例解析式为y=

k

x

（k≠0），
把A的坐标代入反比例解析式得：k=-2，
则反比例函数的解析式为y=-

2

x

；

（2）把B的横坐标x=

1

2

代入反比例解析式y=-

2

x

得：y=-4，
所以B的坐标为（

1

2

，-4），又A（-2，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A和B的坐标代入解析式得：

1 2 k+b=-4 -2k+b=1

，
解得：

k=-2 b=-3

，
则直线AB的解析式为：y=-2x-3，
令y=0，解得x=-

3

2

，则C（-

3

2

，0），故OC=

3

2

，
则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

OC·|y_{A的纵坐标}|+

1

2

OC·|y_{B的纵坐标}|
=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×|-4|=

15

4

；

（3）存在．
∵A（-2，1），且反比例函数图象关于y=-x对称，
∴当P与A关于y=-x对称时，△OAP为等腰三角形，此时P₁（-1，2）；
当P与P₁关于原点对称时，△OAP为等腰三角形，此时P₂（1，-2）；
当P与P₂关于y=-x对称时，P₃（2，-1），O、A、P三点共线，△OAP不能为等腰三角形．