试题

如图，一次函数y₁=ax+2与反比例函数y₂=

k

x

的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求a、k的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，若P为反比例函数图象的位于第一象限部分上的一点，且直线OP分△ADE所得的两部分面积之比为2：7．请求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在x轴上找一点Q，使得△PQC的周长最小，并求出点Q的坐标．

解：（1）将B（-8，-2）代入反比例函数解析式得：-2=

k

-8

，解得：k=16，
将B（-8，-2）代入一次函数解析式得：-8a+2=-2，解得：a=

1

2

；

（2）分两种情况考虑：
①设P点存在，连接OP交AE于点F，

将A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函数y=

1

2

x+2中，y=0，解得：x=-4，
则AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
则S_△ADE=

1

2

AE·DE=

1

2

×4×8=16，
又∵S_△OEF：S_{四边形AFOD}=2：7，
∴S_△OEF=

2

9

×16=

32

9

，
又∵S_△OEF=

1

2

EF·OE，OE=4，
∴EF=

16

9

，
∴F（4，

16

9

），
设直线OF的方程为y=kx，将F（4，

16

9

）代入得：k=

4

9

，
将直线OF方程与反比例函数解析式联立得：

y= 4 9 x y= 16 x

，
解得：

x=6 y= 8 3

或

x=-6 y=- 8 3

．
∵P点在第一象限内，
∴P（6，

8

3

）；
②设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴，

∵S_△FDO：S_{四边形ACOE}=2：7，
∴S_△FDO=

32

9

，
∴FH=y=

16

9

代入y=

1

2

x+2得：x=-

4

9

，
∴F（-

4

9

，

16

9

），在第二象限，
与图形矛盾，故此时P点不存在，
综上，P的坐标为（6，

8

3

）；

（3）点P存在时，P（6，

8

3

），则P点关于x轴的对称点为P′（6，-

8

3

），
连接P′C交x轴于点Q，

设P′C的方程为y=kx+b，将C与P′坐标代入得：

6k+b=- 8 3 b=2

，
解得：

k=- 7 9 b=2

．
∴P′C的方程为y=-

7

9

x+2，
令y=0，解得：x=

18

7

，
则Q（

18

7

，0）．
解：（1）将B（-8，-2）代入反比例函数解析式得：-2=

k

-8

，解得：k=16，
将B（-8，-2）代入一次函数解析式得：-8a+2=-2，解得：a=

1

2

；

（2）分两种情况考虑：
①设P点存在，连接OP交AE于点F，

将A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函数y=

1

2

x+2中，y=0，解得：x=-4，
则AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
则S_△ADE=

1

2

AE·DE=

1

2

×4×8=16，
又∵S_△OEF：S_{四边形AFOD}=2：7，
∴S_△OEF=

2

9

×16=

32

9

，
又∵S_△OEF=

1

2

EF·OE，OE=4，
∴EF=

16

9

，
∴F（4，

16

9

），
设直线OF的方程为y=kx，将F（4，

16

9

）代入得：k=

4

9

，
将直线OF方程与反比例函数解析式联立得：

y= 4 9 x y= 16 x

，
解得：

x=6 y= 8 3

或

x=-6 y=- 8 3

．
∵P点在第一象限内，
∴P（6，

8

3

）；
②设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴，

∵S_△FDO：S_{四边形ACOE}=2：7，
∴S_△FDO=

32

9

，
∴FH=y=

16

9

代入y=

1

2

x+2得：x=-

4

9

，
∴F（-

4

9

，

16

9

），在第二象限，
与图形矛盾，故此时P点不存在，
综上，P的坐标为（6，

8

3

）；

（3）点P存在时，P（6，

8

3

），则P点关于x轴的对称点为P′（6，-

8

3

），
连接P′C交x轴于点Q，

设P′C的方程为y=kx+b，将C与P′坐标代入得：

6k+b=- 8 3 b=2

，
解得：

k=- 7 9 b=2

．
∴P′C的方程为y=-

7

9

x+2，
令y=0，解得：x=

18

7

，
则Q（

18

7

，0）．