试题

如图1，已知双曲线y=

a

x

(a＞0)与直线y=kx交于A，C两点，点A在第一象限．试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（4，2），则点C的坐标为；若点A的横坐标为m，则点C的坐标可表示为；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l交双曲线y=

a

x

于B，D两点，点B在第一象限．设点A，B的横坐标分别为m，n．
①四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
②四边形ABCD可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

解：（1）∵反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、C两点关于原点对称，
∵A（4，2），
∴C（-4，-2）；
∵点A的横坐标为m，
∴A（m，km）或（m，

a

m

），
∴C（-m，-km）或（-m，-

a

m

）．
故答案为：（-4，-2）； （-m，-km）或（-m，-

a

m

）；

（2）①四边形ABCD可能是矩形．
∵点A与点C，点B与点D均关于原点对称，
∴OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA=OB时四边形ABCD是矩形，此时mn=a                  
∴m，n应满足的条件是m·n=a；
②四边形ABCD不可能是正方形．                  
理由：当AC⊥BD时四边形ABCD是正方形，此时点A、B在坐标轴上，由于点A，B不可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠BOA≠90°．