试题

已知反比例函数y=

k

x

图象过第二象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=

k

x

的图象上另一点C（n，-

3

2

）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线y=ax+b解析式；
（3）求△AOC的面积；
（4）在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请至少写出三个P点坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵点A坐标为（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，
∴

1

2

×2×m=3，解得m=3，
∴A点坐标为（-2，3），
把A（-2，3）代入y=

k

x

得k=-2×3=-6，
所以反比例函数的解析式为y=-

6

x

；

（2）把C（n，-

3

2

）代入y=-

6

x

得-

3

2

n=-6，解得n=4，
∴C点坐标为（4，-

3

2

），
把A（-2，3）、C（4，-

3

2

）代入y=ax+b得

-2a+b=3 4a+b=- 3 2

，解得

a=- 3 4 b= 3 2

，
所以直线y=ax+b解析式为y=-

3

4

x+

3

2

；

（3）连OC，
对于y=-

3

4

x+

3

2

，令y=0，则-

3

4

x+

3

2

=0，解得x=2，
∴M点的坐标为（2，0），
∴S_△AOC=S_△AOM+S_△COM=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=

9

2

；

（4）存在．理由如下：
∵A点坐标为（-2，3），
∴OB=2，AB=3，
∴OA=

22+32

=

13

，
当OP=OA时，△PAO为等腰三角形，则P点坐标为（-

13

，0）或（

13

，0）；
当AP=AO时，△PAO为等腰三角形，则P点坐标为（-4，0）；
当PO=PA时，△PAO为等腰三角形，
作OA的垂直平分线交x轴于P，交OA于D，如图，
则OD=

1

2

13

，
易证得Rt△POD∽Rt△AOB，
∴OP：OA=OD：OB，即OP：

13

=

13

2

：2，
∴OP=

13

4

，
∴P点坐标为（-

13

4

，0），
所以在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，此时P点坐标为（-

13

，0）或（

13

，0）或（-4，0）或（-

13

4

，0）．
解：（1）∵点A坐标为（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，
∴

1

2

×2×m=3，解得m=3，
∴A点坐标为（-2，3），
把A（-2，3）代入y=

k

x

得k=-2×3=-6，
所以反比例函数的解析式为y=-

6

x

；

（2）把C（n，-

3

2

）代入y=-

6

x

得-

3

2

n=-6，解得n=4，
∴C点坐标为（4，-

3

2

），
把A（-2，3）、C（4，-

3

2

）代入y=ax+b得

-2a+b=3 4a+b=- 3 2

，解得

a=- 3 4 b= 3 2

，
所以直线y=ax+b解析式为y=-

3

4

x+

3

2

；

（3）连OC，
对于y=-

3

4

x+

3

2

，令y=0，则-

3

4

x+

3

2

=0，解得x=2，
∴M点的坐标为（2，0），
∴S_△AOC=S_△AOM+S_△COM=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=

9

2

；

（4）存在．理由如下：
∵A点坐标为（-2，3），
∴OB=2，AB=3，
∴OA=

22+32

=

13

，
当OP=OA时，△PAO为等腰三角形，则P点坐标为（-

13

，0）或（

13

，0）；
当AP=AO时，△PAO为等腰三角形，则P点坐标为（-4，0）；
当PO=PA时，△PAO为等腰三角形，
作OA的垂直平分线交x轴于P，交OA于D，如图，
则OD=

1

2

13

，
易证得Rt△POD∽Rt△AOB，
∴OP：OA=OD：OB，即OP：

13

=

13

2

：2，
∴OP=

13

4

，
∴P点坐标为（-

13

4

，0），
所以在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，此时P点坐标为（-

13

，0）或（

13

，0）或（-4，0）或（-

13

4

，0）．