试题

如图（1），直线y=k₁x+b与反比例函数y=

k2

x

的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k₁、k₂的值；
（2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大小关系，并说明理由；
（3）如图（2），已知点Q是CD的中点．在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发，沿x轴负方向运动，当∠PCD=90°时，求P点坐标及

四边形PCQE的面积

三角形DEQ的面积

的值．

解：（1）∵A（1，6），B（a，3）在反比例函数y=

k2

x

的图象上，
∴k₂=1×6=3a，
∴k₂=6，a=2，
∴B（2，3）．
将A（1，6），B（2，3）代入直线y=k₁x+b，
得

k1+b=6 2k1+b=3

，
解得

k1=-3 b=9

，
则直线的解析式为y=-3x+9．
故所求k₁=-3，k₂=6；

（2）当S_梯形OBCD=12时，FC=FE．理由如下：
如图（1），设点F的坐标为（m，n）．
∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m-2，OD=m+2，
∴S_梯形OBCD=

BC+OD

2

×CE，即12=

m-2+m+2

2

×3，
∴m=4，
又∵mn=6，
∴n=

3

2

，即FE=

1

2

CE，
∴FC=FE；

（3）如图（2），当∠PCD=90°时，∠PCE+∠DCE=90°，
∵CE⊥OD于点E，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠PCE=∠CDE，
又∵∠CEP=∠DEC=90°，
∴△CEP∽△DEC，
∴CE：DE=EP：EC，
∴DE·EP=CE²，
∴2EP=9，
∴EP=

9

2

，
∵E点坐标为（4，0），
∴P点坐标为（-

1

2

，0）．
∵点Q是CD的中点，C（4，3），D（6，0），
∴Q（5，

3

2

），
又∵DE=2，
∴三角形DEQ的面积=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；
又∵三角形PCD的面积=

1

2

×PD×CE=

1

2

×

13

2

×3=

39

4

，
∴四边形PCQE的面积=三角形PCD的面积-三角形DEQ的面积=

39

4

-

3

2

=

33

4

，
∴

四边形PCQE的面积

三角形DEQ的面积

=

33 4

3 2

=

11

2

．
故所求P点坐标为（-

1

2

，0），

四边形PCQE的面积

三角形DEQ的面积

=

11

2

．
解：（1）∵A（1，6），B（a，3）在反比例函数y=

k2

x

的图象上，
∴k₂=1×6=3a，
∴k₂=6，a=2，
∴B（2，3）．
将A（1，6），B（2，3）代入直线y=k₁x+b，
得

k1+b=6 2k1+b=3

，
解得

k1=-3 b=9

，
则直线的解析式为y=-3x+9．
故所求k₁=-3，k₂=6；

（2）当S_梯形OBCD=12时，FC=FE．理由如下：
如图（1），设点F的坐标为（m，n）．
∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m-2，OD=m+2，
∴S_梯形OBCD=

BC+OD

2

×CE，即12=

m-2+m+2

2

×3，
∴m=4，
又∵mn=6，
∴n=

3

2

，即FE=

1

2

CE，
∴FC=FE；

（3）如图（2），当∠PCD=90°时，∠PCE+∠DCE=90°，
∵CE⊥OD于点E，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠PCE=∠CDE，
又∵∠CEP=∠DEC=90°，
∴△CEP∽△DEC，
∴CE：DE=EP：EC，
∴DE·EP=CE²，
∴2EP=9，
∴EP=

9

2

，
∵E点坐标为（4，0），
∴P点坐标为（-

1

2

，0）．
∵点Q是CD的中点，C（4，3），D（6，0），
∴Q（5，

3

2

），
又∵DE=2，
∴三角形DEQ的面积=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；
又∵三角形PCD的面积=

1

2

×PD×CE=

1

2

×

13

2

×3=

39

4

，
∴四边形PCQE的面积=三角形PCD的面积-三角形DEQ的面积=

39

4

-

3

2

=

33

4

，
∴

四边形PCQE的面积

三角形DEQ的面积

=

33 4

3 2

=

11

2

．
故所求P点坐标为（-

1

2

，0），

四边形PCQE的面积

三角形DEQ的面积

=

11

2

．