试题

已知点A（a，b）为双曲线y=

6

x

（x＞0）图象上一点．
（1）如图1所示，过点A作AD⊥y轴于D点，点P是x轴任意一点，连接AP．求△APD的面积．
（2）以A（a，b）为直角顶点作等腰Rt△ABC，如图2所示，其中点B在点C的左侧，若B点的坐标为B（-1，0），且a、b都为整数时，试求线段BC的长．
（3）在（2）中，当等腰Rt△ABC的直角顶点A（a，b）在双曲线上移动时，B、C两点也随着移动，试用含a，b的式子表示C点坐标；并证明在移动过程中OC²-OB²的值恒为定值．

解：（1）由点A（a，b）在反比例函数y=

6

x

上可得：
ab=6，AD=a，OD=b，
所以S△ABC=

1

2

AD·OD=

1

2

ab=3，

（2）过A作AE垂直x轴于E点，可得：E（a，0），
则由∠ABE=45°可得△ABE为等腰直角三角形，
∴AE=BE，
E在B右侧且B坐标为（-1，0），
∴BE=a-（-1）=a+1，则a+1=b，
又∵ab=6且a、b都为整数．
∴a只能取2，b为3，
此时，BE=AE=CE=b=3，
∴BC=BE+CE=6，

（3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管点A如何移动，总有：OC=OE+EC=a+b，且C总在x轴正半轴，
∴C（a+b，0），
当B在y轴左侧时，如图2所示，则a＜b，
OB=BE-OE=b-a．
（a+b）²-（b-a）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24，
∴OC²-OB²=24，
当B在y轴右侧或与原点重合时，
如图4所示，则a≥b，
∴OB=OE-BE=a-b，
∴OC²-OB²=（a+b）²-（a-b）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24综上所述：移动过程中OC²-OB²的值恒为24．
解：（1）由点A（a，b）在反比例函数y=

6

x

上可得：
ab=6，AD=a，OD=b，
所以S△ABC=

1

2

AD·OD=

1

2

ab=3，

（2）过A作AE垂直x轴于E点，可得：E（a，0），
则由∠ABE=45°可得△ABE为等腰直角三角形，
∴AE=BE，
E在B右侧且B坐标为（-1，0），
∴BE=a-（-1）=a+1，则a+1=b，
又∵ab=6且a、b都为整数．
∴a只能取2，b为3，
此时，BE=AE=CE=b=3，
∴BC=BE+CE=6，

（3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管点A如何移动，总有：OC=OE+EC=a+b，且C总在x轴正半轴，
∴C（a+b，0），
当B在y轴左侧时，如图2所示，则a＜b，
OB=BE-OE=b-a．
（a+b）²-（b-a）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24，
∴OC²-OB²=24，
当B在y轴右侧或与原点重合时，
如图4所示，则a≥b，
∴OB=OE-BE=a-b，
∴OC²-OB²=（a+b）²-（a-b）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24综上所述：移动过程中OC²-OB²的值恒为24．