试题

如图，点D在反比例函数y=

k

x

（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，0），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；

（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，连接OB，将OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F，求OF的长；

（3）直线y=-x+3交x轴于M点，交y轴于N点，点P是双曲线y=

k

x

（k＞0）上的一动点，PQ⊥x轴于Q点，PR⊥y轴于R点，PQ，PR与直线MN交于H，G两点．给出下列两个结论：①△PGH的面积不变；②MG·NH的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你选择并证明求值．

解：（1）由题可知：D（2，2），
因为点D在反比例函数y=

k

x

（k＞0）上，
所以k=4，
∴y=

4

x

（2）B点的坐标为（1，4），可知△EBF≌△A'OF，
设OF=x，则EF=A'F=4-x，
在直角三角形A′OF中，A′F²+A′O²=OF²，
∴（4-x）²+1=x²
解得：x=

17

8

；

（3）MG·NH的值不变，且值为8．
由y=-x+3得：OM=ON
∴∠OMN=∠ONM=45°
∴MG=

2

PQ，NH=

2

PR
∴MG·NH=2PQ·PR=8．
解：（1）由题可知：D（2，2），
因为点D在反比例函数y=

k

x

（k＞0）上，
所以k=4，
∴y=

4

x

（2）B点的坐标为（1，4），可知△EBF≌△A'OF，
设OF=x，则EF=A'F=4-x，
在直角三角形A′OF中，A′F²+A′O²=OF²，
∴（4-x）²+1=x²
解得：x=

17

8

；

（3）MG·NH的值不变，且值为8．
由y=-x+3得：OM=ON
∴∠OMN=∠ONM=45°
∴MG=

2

PQ，NH=

2

PR
∴MG·NH=2PQ·PR=8．