试题

如图，在平面直角坐标系中，直线l₁经过点A（2，0）且与y轴平行，直线l₂经过点B（0，1）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于P，点E为直线l₂上一点，函数y=

k

x

（x＞0，k＞0且k≠2）的图象经过点E与直线l₁相交于点F．
（1）写出点E、点F的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）求

PE

PF

的值；
（3）连接OE、OF、EF．若△OEF为直角三角形，求k的值．

解：（1）∵直线l₁经过点A（2，0）且与y轴平行，直线l₂经过点B（0，1）且与x轴平行，
∴当y=1时，x=k；当x=2时，y=

k

2

，
∴E（k，1），F（2，

k

2

）；

（2）当0＜k＜2时，

PE

PF

=

2-k

1- k 2

=2；
当k＞2时，

PE

PF

=

k-2

k 2 -1

=2．

（3）当∠OEF=90°时，
∵∠OEB+∠EOB=∠OEB+∠PEF=90°，
∴∠EOB=∠PEF，
∵∠OBE=∠EFP=90°，
∴△OBE∽△EPF，
∴

OB

BE

=

PE

PF

=2，
∴

1

k

=2，
∴k=

1

2

；
当∠OFE=90°时，
同理可得△OAF∽△FPE，
∴

AF

OA

=

PE

PF

=2，
∴

k 2

2

=2，解得k=8．
综上所述，k=

1

2

或k=8．
解：（1）∵直线l₁经过点A（2，0）且与y轴平行，直线l₂经过点B（0，1）且与x轴平行，
∴当y=1时，x=k；当x=2时，y=

k

2

，
∴E（k，1），F（2，

k

2

）；

（2）当0＜k＜2时，

PE

PF

=

2-k

1- k 2

=2；
当k＞2时，

PE

PF

=

k-2

k 2 -1

=2．

（3）当∠OEF=90°时，
∵∠OEB+∠EOB=∠OEB+∠PEF=90°，
∴∠EOB=∠PEF，
∵∠OBE=∠EFP=90°，
∴△OBE∽△EPF，
∴

OB

BE

=

PE

PF

=2，
∴

1

k

=2，
∴k=

1

2

；
当∠OFE=90°时，
同理可得△OAF∽△FPE，
∴

AF

OA

=

PE

PF

=2，
∴

k 2

2

=2，解得k=8．
综上所述，k=

1

2

或k=8．