试题

如图，双曲线y=

k

x

与直线l：y=-kx+b（k＞0，b＞0）有且只有一个公共点A，AC⊥x轴于C，直线l交x轴于点B．
（Ⅰ）求点A的横坐标；
（Ⅱ） 已知△ABC的面积等于1，若有一动点从原点开始移动，假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l上的概率．

解：（Ⅰ）联立

y= k x y=-kx+b

，得 kx²-bx+k=0．
∵双曲线与直线有且只有一个公共点A，
∴△=b²-4k²=0，即b²=4k²，
∵b＞0，k＞0，
∴b=2k，
∴kx²-2kx+k=0，k（x-1）²=0．
解得：x=1，即A点横坐标为1；

（Ⅱ）∵b=2k，
∴直线l的方程为y=-kx+2k，
令y=0得：l与x轴交点B为（2，0），
∴OB=2．
又∵A（1，k），AC⊥x轴，
∴OC=1，AC=k，BC=2-1=1．
又∵S_△ABC=

1

2

AC·BC=1，即

1

2

·k·1=1，解得：k=2．
∴直线l的方程为 y=-2x+4，
∴动点从原点出发每次向上或向右移动1个单位，有8种可能结果：（右，右，右）、（右，右，上）、（右，上，右）、（右，上，上），（上，右，右）、（上，右，上）、（上，上，右）、（上，上，上）．
其对应的坐标分别是：（3，0）、（2，1）、（2，1）、（1，2）、（2，1）、（1，2）、（1，2）、（0，3）．
其中恰好在直线l：y=-2x+4上的共有3种，
∴该点在直线l上的概率P=

3

8

．
解：（Ⅰ）联立

y= k x y=-kx+b

，得 kx²-bx+k=0．
∵双曲线与直线有且只有一个公共点A，
∴△=b²-4k²=0，即b²=4k²，
∵b＞0，k＞0，
∴b=2k，
∴kx²-2kx+k=0，k（x-1）²=0．
解得：x=1，即A点横坐标为1；

（Ⅱ）∵b=2k，
∴直线l的方程为y=-kx+2k，
令y=0得：l与x轴交点B为（2，0），
∴OB=2．
又∵A（1，k），AC⊥x轴，
∴OC=1，AC=k，BC=2-1=1．
又∵S_△ABC=

1

2

AC·BC=1，即

1

2

·k·1=1，解得：k=2．
∴直线l的方程为 y=-2x+4，
∴动点从原点出发每次向上或向右移动1个单位，有8种可能结果：（右，右，右）、（右，右，上）、（右，上，右）、（右，上，上），（上，右，右）、（上，右，上）、（上，上，右）、（上，上，上）．
其对应的坐标分别是：（3，0）、（2，1）、（2，1）、（1，2）、（2，1）、（1，2）、（1，2）、（0，3）．
其中恰好在直线l：y=-2x+4上的共有3种，
∴该点在直线l上的概率P=

3

8

．