试题

（2009·威海）一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=

k

x

的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y=

k

x

的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；②AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=

k

x

的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

（1）证明：①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，
∴四边形AEOC为矩形．
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BDOF为矩形．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形．（1分）
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，
∴S_矩形AEOC=OC·AC=x₁·y₁=k
∵OF=x₂，FB=y₂，x₂·y₂=k，
∴S_矩形BDOF=OF·FB=x₂·y₂=k．
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，S_矩形CFBK=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．（2分）
②由（1）知：S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．
∴AK·DK=BK·CK．
∴

AK

CK

=

BK

DK

．（4分）
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．（5分）
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（6分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN=CD．（7分）
同理BM=CD．
∴AN=BM．（8分）

（2）解：AN与BM仍然相等．（9分）
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF．（10分）
∴AK·DK=BK·CK．
∴

CK

AK

=

DK

BK

．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（11分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．（12分）
（1）证明：①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，
∴四边形AEOC为矩形．
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BDOF为矩形．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形．（1分）
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，
∴S_矩形AEOC=OC·AC=x₁·y₁=k
∵OF=x₂，FB=y₂，x₂·y₂=k，
∴S_矩形BDOF=OF·FB=x₂·y₂=k．
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，S_矩形CFBK=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．（2分）
②由（1）知：S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．
∴AK·DK=BK·CK．
∴

AK

CK

=

BK

DK

．（4分）
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．（5分）
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（6分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN=CD．（7分）
同理BM=CD．
∴AN=BM．（8分）

（2）解：AN与BM仍然相等．（9分）
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF．（10分）
∴AK·DK=BK·CK．
∴

CK

AK

=

DK

BK

．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（11分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．（12分）