试题

（2010·荆州）已知：关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0的两根x₁，x₂满足x₁²-x₂²=0，双曲线y=

4k

x

（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求S_△OBC．

解：∵x²+（2k-1）x+k²=0有两根，
∴△=（2k-1）²-4k²≥0，
即k≤

1

4

．
由x₁²-x₂²=0得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0．
当x₁+x₂=0时，-（2k-1）=0，解得k=

1

2

，不合题意，舍去；
当x₁-x₂=0时，x₁=x₂，△=（2k-1）²-4k²=0，
解得：k=

1

4

符合题意．
∵y=

4k

x

，
∴双曲线的解析式为：y=

1

x

．
过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA=

1

2

×1=

1

2

．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴

S△OBA

S△ODE

=(

OB

OD

)2=4，∴S△OBA=4×

1

2

=2，
∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-

1

2

=

3

2

．
解：∵x²+（2k-1）x+k²=0有两根，
∴△=（2k-1）²-4k²≥0，
即k≤

1

4

．
由x₁²-x₂²=0得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0．
当x₁+x₂=0时，-（2k-1）=0，解得k=

1

2

，不合题意，舍去；
当x₁-x₂=0时，x₁=x₂，△=（2k-1）²-4k²=0，
解得：k=

1

4

符合题意．
∵y=

4k

x

，
∴双曲线的解析式为：y=

1

x

．
过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA=

1

2

×1=

1

2

．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴

S△OBA

S△ODE

=(

OB

OD

)2=4，∴S△OBA=4×

1

2

=2，
∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-

1

2

=

3

2

．