试题

（2013·济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．
（1）求证：线段AB为⊙P的直径；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，Q是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．
求证：DO·OC=BO·OA．

（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．

（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO·OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）证明：若点Q为反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上异于点P的另一点，
参照（2），同理可得：S_△COD=

1

2

DO·CO=24，
则有：S_△COD=S_△AOB=24，即

1

2

BO·OA=

1

2

DO·CO，
∴DO·OC=BO·OA．
（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．

（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO·OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）证明：若点Q为反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上异于点P的另一点，
参照（2），同理可得：S_△COD=

1

2

DO·CO=24，
则有：S_△COD=S_△AOB=24，即

1

2

BO·OA=

1

2

DO·CO，
∴DO·OC=BO·OA．