试题

（2013·绵阳）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=

k

x

（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．

解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y=

k

x

，可得k=4，
即反比例函数解析式为：y=

4

x

，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标=

4

4

=1，
故点F的坐标为（4，1）；


（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（

k

2

，2），点F坐标为（4，

k

4

），
则CF=

k

4

，BF=DF=2-

k

4

，ED=BE=AB-AE=4-

k

2

，
在Rt△CDF中，CD=

DF2-CF2

=

(2- k 4 )2-( k 4 )2

=

4-k

，
∵

CD

GE

=

DF

ED

，即

4-k

2

=

2- k 4

4- k 2

，
∴

4-k

=1，
解得：k=3．
解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y=

k

x

，可得k=4，
即反比例函数解析式为：y=

4

x

，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标=

4

4

=1，
故点F的坐标为（4，1）；


（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（

k

2

，2），点F坐标为（4，

k

4

），
则CF=

k

4

，BF=DF=2-

k

4

，ED=BE=AB-AE=4-

k

2

，
在Rt△CDF中，CD=

DF2-CF2

=

(2- k 4 )2-( k 4 )2

=

4-k

，
∵

CD

GE

=

DF

ED

，即

4-k

2

=

2- k 4

4- k 2

，
∴

4-k

=1，
解得：k=3．