试题

对于函数图象上的点有如下定义：若当自变量x=x₀时，其函数值y恰好也为x₀，则点（x₀，x₀）为这个函数的和谐点，已知函数y=

3x+a

x+b

(a、b为常数)，请运用定义进行解答
（1）若y=

3x+a

x+b

有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
（2）若函数y=

3x+a

x+b

中a=4，且函数有两个关于原点对称的和谐点，则函数y=

3x+a

x+b

与y=-

5

x+3

的图象有怎么样的位置关系？
（3）若函数y=

3x+a

x+b

的图象上有两个关于原点对称的和谐点，求a、b应满足的条件．

解：（1）将（4，4）、（-2，-2）代入y=

3x+a

x+b

，得到：

12+a 4+b =4 -6+a -2+b =-2

，
解得：

a=16 b=-3

；

（2）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，根据题意得：

3x+4

x+b

=x，则x²+（b-3）x-4=0…①；

-3x+4

-x+b

=-x，则x²-（b-3）x-4=0…②．
①-②得：b-3=0．则b=3．
则y=

3x+a

x+b

=

3x+4

x+3

=3-

5

x+3

，
则函数y=

3x+a

x+b

的图象向下移动3个单位长度即可得到y=-

5

x+3

的图象；

（3）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，则

3x+a

x+b

=x，即x²+（b-3）x-a=0…③；

-3x+a

-x+b

=-x，则x²-（b-3）x-a=0…④．
③-④得：b-3=0，则b=3．
③+④得：2x2-2a=0，即a=x²．
又∵x与-x的值不同，则x≠0，因而a＞0；
∵-x+b≠0，
∴a≠9．
故a的范围是：a＞0且a≠9．
解：（1）将（4，4）、（-2，-2）代入y=

3x+a

x+b

，得到：

12+a 4+b =4 -6+a -2+b =-2

，
解得：

a=16 b=-3

；

（2）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，根据题意得：

3x+4

x+b

=x，则x²+（b-3）x-4=0…①；

-3x+4

-x+b

=-x，则x²-（b-3）x-4=0…②．
①-②得：b-3=0．则b=3．
则y=

3x+a

x+b

=

3x+4

x+3

=3-

5

x+3

，
则函数y=

3x+a

x+b

的图象向下移动3个单位长度即可得到y=-

5

x+3

的图象；

（3）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，则

3x+a

x+b

=x，即x²+（b-3）x-a=0…③；

-3x+a

-x+b

=-x，则x²-（b-3）x-a=0…④．
③-④得：b-3=0，则b=3．
③+④得：2x2-2a=0，即a=x²．
又∵x与-x的值不同，则x≠0，因而a＞0；
∵-x+b≠0，
∴a≠9．
故a的范围是：a＞0且a≠9．