试题

如图平面直角坐标系中，点A（1，n）和点B（m，1）为双曲线y=

k

x

第一象限上两点，连接OA、OB．
（1）试比较m、n的大小；
（2）若∠AOB=30°，求双曲线的解析式．

解：（1）∵点A（1，n）和点B（m，1）为双曲线y=

k

x

上的点，
∴n=

k

1

，1=

k

m

．（2分）
∴m=n=k（3分）

（2）过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠BDO=90°，AC=1，OC=n，BD=1，OD=m．
∴AC=BD．
∵m=n，∴OC=OD，AC=BD．
∴△ACO≌△BDO．
∴∠AOC=∠BOD=

1

2

（∠COD-∠AOB）=

1

2

（90°-30°）=30°．
在Rt△AOC中，tan∠AOC=

AC

OC

，∴OC=

AC

tan∠AOC

=

1

tan30°

=

3

．
∴点A的坐标为（1，

3

）．
∵点A（1，

3

）为双曲线y=

k

x

上的点，
∴

3

=

k

1

，∴k=

3

．
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

．
解：（1）∵点A（1，n）和点B（m，1）为双曲线y=

k

x

上的点，
∴n=

k

1

，1=

k

m

．（2分）
∴m=n=k（3分）

（2）过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠BDO=90°，AC=1，OC=n，BD=1，OD=m．
∴AC=BD．
∵m=n，∴OC=OD，AC=BD．
∴△ACO≌△BDO．
∴∠AOC=∠BOD=

1

2

（∠COD-∠AOB）=

1

2

（90°-30°）=30°．
在Rt△AOC中，tan∠AOC=

AC

OC

，∴OC=

AC

tan∠AOC

=

1

tan30°

=

3

．
∴点A的坐标为（1，

3

）．
∵点A（1，

3

）为双曲线y=

k

x

上的点，
∴

3

=

k

1

，∴k=

3

．
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

．