试题

（2009·赣州二模）如图：P是反比例函数y=

k

x

（k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，已知△POM的面积为2．
（1）求k的值；
（2）若直线y=x与反比例函数y=

k

x

的图象在第一象限内交于点A，求过点A和点B（0，-2）的直线表达式；
（3）过A作AC⊥y轴于点C，若△ABC与△POM相似，求点P的坐标．

解：（1）∵△POM的面积为2，
设P（x，y），
∴

1

2

xy=2，即xy=4，
∴k=4；

（2）解方程组

y=x y= 4 x

，得

x=2 y=2

，或

x=-2 y=-2

，
∵点A在第一象限，
∴A（2，2），（3分）
设直线AB的表达式为y=mx+n，
将A（2，2）B（0，-2）代入得：

2m+n=2 n=-2

解之得

m=2 n=-2

，
∴直线AB的表达式为y=2x-2；

（3）①若△ABC∽△POM，则有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又

1

2

PM·OM=2，即

1

2

×2PM·PM=2，得PM=

2

∴P（2

2

，

2

）；
②若△ABC∽△OPM，同上述方法，易得OM=

2

，∴P（

2

，2

2

），
∴符合条件的点P有（2

2

，

2

）或（

2

，2

2

）．（9分）
解：（1）∵△POM的面积为2，
设P（x，y），
∴

1

2

xy=2，即xy=4，
∴k=4；

（2）解方程组

y=x y= 4 x

，得

x=2 y=2

，或

x=-2 y=-2

，
∵点A在第一象限，
∴A（2，2），（3分）
设直线AB的表达式为y=mx+n，
将A（2，2）B（0，-2）代入得：

2m+n=2 n=-2

解之得

m=2 n=-2

，
∴直线AB的表达式为y=2x-2；

（3）①若△ABC∽△POM，则有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又

1

2

PM·OM=2，即

1

2

×2PM·PM=2，得PM=

2

∴P（2

2

，

2

）；
②若△ABC∽△OPM，同上述方法，易得OM=

2

，∴P（

2

，2

2

），
∴符合条件的点P有（2

2

，

2

）或（

2

，2

2

）．（9分）