试题

（2011·滨江区模拟）如图，已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

解：（1）将x=-8代入直线y=

1

4

x，
得y=-2．
∴点B坐标（-8，-2），--（1分）
将点B坐标（-8，-2）代入y=

k

x

得：
k=xy=16．--（2分）
∵A点是B点关于原点的对称点，
∴A点坐标为（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中点，C点纵坐标为-n，
∴B点纵坐标为-

n

2

，
把y=-

n

2

代入直线y=

1

4

x，得B点横坐标为-2n，
∴D点坐标（-2n，0），B点坐标（-2n，-

n

2

），C点坐标（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-

n

2

）=n²．
将E点纵坐标-n代入方程y=n²/x，得其横坐标-n．
∵四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-Rt△ODB的面积-Rt△ONE的面积，
∴4=2n²-

1

2

n²-

1

2

n²，
解得n=2．--（5分）
所以C点坐标（-4，-2），M点坐标（2，2）--（6分）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则

-4k+b=-2 2k+b=2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

．
∴直线CM解析式为y=

2

3

x+

2

3

．--（7分）

（3）将点M的坐标（m，n）代入双曲线方程得：k=mn．
双曲线y=

mn

x

与直线y=

1

4

x联立，
解得A点坐标（2

mn

，

mn

2

），B点坐标（-2

mn

，-

mn

2

），
∴MA=

(2 mn) -m)2+( mn 2 -n)2

，
MP=

MH2+HP2

，
∵MA=pMP，MB=qMQ，
∴p=

MA

MP

=

2 mn -m

m

，--（9分）
q=

MB

MQ

=

2 mn +m

m

，--（11分）
∴p-q=

2 mn -m

m

-

2 mn +m

m

=-2．--（12分）
解：（1）将x=-8代入直线y=

1

4

x，
得y=-2．
∴点B坐标（-8，-2），--（1分）
将点B坐标（-8，-2）代入y=

k

x

得：
k=xy=16．--（2分）
∵A点是B点关于原点的对称点，
∴A点坐标为（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中点，C点纵坐标为-n，
∴B点纵坐标为-

n

2

，
把y=-

n

2

代入直线y=

1

4

x，得B点横坐标为-2n，
∴D点坐标（-2n，0），B点坐标（-2n，-

n

2

），C点坐标（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-

n

2

）=n²．
将E点纵坐标-n代入方程y=n²/x，得其横坐标-n．
∵四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-Rt△ODB的面积-Rt△ONE的面积，
∴4=2n²-

1

2

n²-

1

2

n²，
解得n=2．--（5分）
所以C点坐标（-4，-2），M点坐标（2，2）--（6分）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则

-4k+b=-2 2k+b=2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

．
∴直线CM解析式为y=

2

3

x+

2

3

．--（7分）

（3）将点M的坐标（m，n）代入双曲线方程得：k=mn．
双曲线y=

mn

x

与直线y=

1

4

x联立，
解得A点坐标（2

mn

，

mn

2

），B点坐标（-2

mn

，-

mn

2

），
∴MA=

(2 mn) -m)2+( mn 2 -n)2

，
MP=

MH2+HP2

，
∵MA=pMP，MB=qMQ，
∴p=

MA

MP

=

2 mn -m

m

，--（9分）
q=

MB

MQ

=

2 mn +m

m

，--（11分）
∴p-q=

2 mn -m

m

-

2 mn +m

m

=-2．--（12分）