试题

（2012·宁波模拟）如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y2=

k

x

的图象交于A，B两点，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（-

3

2

，m）
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使函数值y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．

解：（1）过点A作AD⊥x轴于D；
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴在Rt△AOD中，tan∠AOC=

AD

OD

，
∴

AD

OD

=

1

3

，
设AD=n，OD=3n（其中n＞0）；
∴在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=

n2+(3n)2

=

10

n，
又∵OA=

10

，
∴

10

=

10

n，
∴n=1，
∴3n=3，
∴A（3，1）；（2分）
将A（3，1）代入反比例函数y2=

k

x

中，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为y=

3

x

；（4分）
将B（-

3

2

，m）代入y=

3

x

中，
∴m=

3

- 3 2

=-2，
∴B（-

3

2

，-2）；（6分）
将A（3，1），B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b中，
得

1=3a+b -2=- 3 2 a+b

解之得

a= 2 3 b=-1

，
∴y1=

2

3

x-1．（8分）

（2）由图象知，当x＜-

3

2

或0＜x＜3时，y₁＜y₂．（10分）
解：（1）过点A作AD⊥x轴于D；
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴在Rt△AOD中，tan∠AOC=

AD

OD

，
∴

AD

OD

=

1

3

，
设AD=n，OD=3n（其中n＞0）；
∴在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=

n2+(3n)2

=

10

n，
又∵OA=

10

，
∴

10

=

10

n，
∴n=1，
∴3n=3，
∴A（3，1）；（2分）
将A（3，1）代入反比例函数y2=

k

x

中，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为y=

3

x

；（4分）
将B（-

3

2

，m）代入y=

3

x

中，
∴m=

3

- 3 2

=-2，
∴B（-

3

2

，-2）；（6分）
将A（3，1），B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b中，
得

1=3a+b -2=- 3 2 a+b

解之得

a= 2 3 b=-1

，
∴y1=

2

3

x-1．（8分）

（2）由图象知，当x＜-

3

2

或0＜x＜3时，y₁＜y₂．（10分）