试题

题目：
青果学院阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵（
a
-
b
）2≥0，
∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b≥2
p
，
当a=b，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，x+
4
x
的最小值为
4
4
．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=
6
x
（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
答案
4

解：（1）4；

（2）设P（x，
6
x
），则C（x，0），D（0，
6
x
），
∴四边形ABCD面积S=
1
2
AC·DB=
1
2
（x+2）（
6
x
+3）
=
3
2
（x+
4
x
）+6，
由（1）得若x＞0，x+
4
x
的最小值为4，
∴四边形ABCD面积S≥
3
2
×4+6=12，
∴四边形ABCD面积的最小值为12．
此时x=
4
x
，则x=2，
∴C（2，0），D（0，3），
∴OA=OC=2，OD=OB=3，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）利用在a+b≥2
ab
得到x+
4
x
≥2
x·
4
x
，即可得到x+
4
x
的最小值；
（2）设p（x，
6
x
），则C（x，0），D（0，
6
x
），则可表示出四边形ABCD面积S=
1
2
AC·DB=
1
2
（x+2）（
6
x
+3），变形得S=
3
2
（x+
4
x
）+6，利用前面的结论可得四边形ABCD面积的最小值为12．此时x=
4
x
，则x=2，得到OA=OC=2，OD=OB=3，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，而AC⊥BD，再根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形．
本题考查了阅读理解题的解题方法：利用题目中给的方法或结论解决问题．也考查了利用坐标表示线段长以及平行四边形和菱形的判定方法．
综合题．
找相似题