已知：C为反比例函数y=frac{k}{x}（k≠0，x＜0）上一动点，过点C作直线l⊥x轴于A点，连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧），连接OD，过D点作DB∥-青果题库-青果学院

题目：

已知：C为反比例函数y=

k

x

(k≠0，x＜0)上一动点，过点C作直线l⊥x轴于A点，青果学院

连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧），连接OD，过D点作DB∥x轴交直线l于B点，S_△AOC=4．
（1）求k的值；
（2）当OA=4时，在直线l上是否存在异于C的点P，使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）把△BCD沿CD翻折，当B点恰好落在OD上时，四边形OCBD的面积是否随着点C的运动而发生变化？若不变，请求出其面积；若变化，请说明理由．

答案

解：（1）设C的坐标为（m，n），m＜0，青果学院

1

2

|m||n|=4，
∴mn=±8，
∴k=xy=mn=±8．
∵反比例函数的图象一个分支在第二象限，
∴k=-8；

（2）当OA=4时，m=-4，则n=-

8

-4

=2，
∴C的坐标是：（-4，2）．
∵CD⊥OC，直线OC的斜率是：-

1

2

，
∴CD的方程为y=2x+10，青果学院

∴当k=-8时y=-

8

x

，．
解方程组：

y=-

8

x

y=2x+10

，
解得：

x=-1

y=8

，
则D的坐标是：（-1，8）．
①若P（-4，y）为直角顶点时，OD的中点M为（-

1

2

，4）
∵MP=

1

2

OD，
∴

(-4+

1

2

)2+(y-4)2

=

1

2

(-1)2+82

则y-4=±2，∴y=6．（y=2舍去）青果学院

∴P（-4，6）；
②若D为直角顶点，则直线OD的斜率是-8，
∴PD的斜率是

1

8

．
则直线PD的解析式是：y=

1

8

x+

65

8

∴当x=-4时，y=

61

8

，
∴P（-4，

61

8

）；
③O为直角顶点时OP⊥OD，
OP的解析式是：y=

1

8

x，当x=-4时，y=-

1

2

，
∴P（-4，-

1

2

）
当k=8时符合条件的点P为（-4，-6）或（-4，

61

8

）或（-4，

1

2

）．

（3）把△BCD沿着CD翻折，点B与OD上点E重合，DC平分∠BDO，
容易证明OC平分∠AOD，
又∵BD⊥AB，AO⊥AB，
∴AC=BC=EC．
∵∠BDC=∠ACO=90°-∠BCD，
∴Rt△AOC∽Rt△BCD，
∴AO：BC=AC：BD，
∴BD=

BC·AC

OA

．
设C（m，n），BD=-

n2

m

，
D（m-

n2

m

，2n）．
∵C，D都在双曲线y=-

8

x

上，
2n·（m-

n2

m

）=-8，
∴mn=-8，
∴

n2

m2

=

1

2

，∴m=-

2

n，
n²=4

2

．
∴S_{四边形OCBD}=S_梯形ABDO-S_△AOC=2n[-

n2

m

+（-m）]÷2-4
=-

n3

m

-mn-4=mn·（-

n2

m2

）+8-4=8×

1

2

+4=8（定值）．
解：（1）设C的坐标为（m，n），m＜0，青果学院

1

2