试题

题目：
青果学院如图，已知点A的坐标为（
3
，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=
3
x
的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，则k的值为
3+
3
4
3+
3
4
．
答案
3+
3
4

青果学院解：∵点A的坐标为（
3
，3），AB⊥x轴，垂足为B，
∴OA=
AB2+OB2
=
32+(
3
)2
=2
3
，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
∵点A的坐标为（
3
，3），
∴
3
k=3，解得k=
3
，
∴直线OA的解析式为y=
3
x（k≠0），
∴
y=
3
x
y=
3
x
，解得
x=1
y=
3
，
∴C（1，
3
），
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵AB⊥x轴，
∴△OAB∽△OCE，
∴
OC
OA
=
CE
AB
，即
OC
2
3
=
3
3
，解得OC=2，
∴CA=OA-OC=2
3
-2=2（1-
3
），
∵以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，
∴kCA=CE，即2（1-
3
）=
3
，解得k=
3+
3
4
．
故答案为：
3+
3
4
．
考点梳理
反比例函数综合题．
先根据勾股定理求出OA的长，再利用待定系数法求出直线OA的解析式，故可得出C点坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，则△OAB∽△OCE，再由相似三角形的对应边成比例即可求出OC的长，进而得出CA的长，故可得出结论．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
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