试题

如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴轴的垂线，交函数y=

1

x

的图象于点A，交函数y=

4

x

的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y=

1

x

于点c，边接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

解：（1）当当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，
∵点A在反比例函数y=

1

x

上，点B在反比例函数y=

4

x

上，
∴点A（1，1），点B（1，4），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4，
又∵点C在y=

1

x

上，
∴点C的坐标为（

1

4

，4），
∴AB=3，BC=

3

4

，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AB=

9

8

；
（2）如图①所示：OA=

12+12

=

2

，
①若OA=OP，点P位于P₁或P₂位置，此时P₁（0，-

2

），P₂（0，

2

）；


②若AP=AO，点P位于P₃位置，此时P₃（0，2）；
③若PO=PA，点P位于P4位置，此时P₄（0，1）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：

∵点P的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t，

1

t

），点B（t，

4

t

），点C（

t

4

，

4

t

），
∴S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF=1+

1

2

（

1

t

+

4

t

）×（t-

t

4

）-

1

2

-

1

2

=

15

8

；
故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．
解：（1）当当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，
∵点A在反比例函数y=

1

x

上，点B在反比例函数y=

4

x

上，
∴点A（1，1），点B（1，4），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4，
又∵点C在y=

1

x

上，
∴点C的坐标为（

1

4

，4），
∴AB=3，BC=

3

4

，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AB=

9

8

；
（2）如图①所示：OA=

12+12

=

2

，
①若OA=OP，点P位于P₁或P₂位置，此时P₁（0，-

2

），P₂（0，

2

）；


②若AP=AO，点P位于P₃位置，此时P₃（0，2）；
③若PO=PA，点P位于P4位置，此时P₄（0，1）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：

∵点P的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t，

1

t

），点B（t，

4

t

），点C（

t

4

，

4

t

），
∴S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF=1+

1

2

（

1

t

+

4

t

）×（t-

t

4

）-

1

2

-

1

2

=

15

8

；
故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．