试题

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．如图，正方形ABCD是反比例函数y=

2

x

图象上的其中一个伴侣正方形．则这个伴侣正方形的边长是．

解：过C作CF⊥y轴，交y轴于点F，过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，
∴∠CFB=∠DEA=∠AOB=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=AB=AD，∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠FBC+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAE=90°，
∴∠FCB=∠ABO=∠DAE，
∴△BFC≌△AOB≌△DAE，
∴FC=OB=AE，FB=OA=DE，
由C、D都在反比例函数y=

2

x

图象上，故设C（a，

2

a

），D（b，

2

b

），
∴FC=OB=AE=a，FB=OA=DE=

2

b

，
又FB=DE=OA=OE-AE=b-a，
∴

2

b

=b-a，即b²-ab=2①，
又OF=FB+OB=

2

a

，
∴b-a+a=

2

a

，即ab=2②，
②代入①得：b²=4，
解得：b=2，
将b=2代入②得：a=1，
∴CF=1，FB=b-a=1，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC=

CF2+BF2

=

2

，
则这个伴侣正方形的边长为

2

．
故答案为：

2