试题

如图，等腰Rt△OAB中∠OAB=90°，顶点O为坐标原点，顶点A、B在某反比例函数的图象上，点A的横坐标为2，则S_△OAB=．

解：过点B作BM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，并延长MB，NA交于一点W，
∵∠WMO=∠MON=∠WNO=90°，
∴四边形MONW是四边形，
设反比例函数的解析式为：y=

k

x

，
由点A的横坐标为2，则A点坐标为：（2，

k

2

），
∵等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴AB=AO，
∵∠OAB=90°，
∴∠BAW+∠OAN=90°，
∵∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BAW=∠AON，
∵在△AON和△BAW中，

∠W=∠ANO ∠WAB=∠NOA AB=AO

，
∴△AON≌△BAW（AAS），
∴AW=NO，S_△AON=S_△BAW，
故WN=AW+AN=2+

k

2

，
∴矩形面积为：S=ON·WN=2（2+

k

2

）=4+k，
∵S_△MOB=S_△AON=S_△BAW=

1

2

×2×

k

2

=

k

2

，
∴S_△AOB=4+k-3×

k

2

=4-

k

2

，
∵NO=2，AN=

k

2

，
∴AB=AO=

4+ k2 4

，
∴S_△AOB=

1

2

×

4+ k2 4

×

4+ k2 4

=2+

k2

8

，
∴4-

k

2

=2+

k2

8

，
整理得出：
k²+4k-16=0，
解得：k₁=-2+2

5

，k₂=-2-2

5

（不合题意舍去），
∴S_△AOB=4-

k

2

=4-

-2+2 5

2

=5-

5

．
故答案为：5-

5

．