试题

题目:
青果学院如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)在函数y=
4
x
(x>0)
的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3,…An-1An都在x轴上,则y1+y2+y3+…+y2011的值为
2
2011
2
2011

答案
2
2011

解:由△P1OA1是等腰直角三角形,得y1=x1
∵P1(x1,y1)在函数y=
4
x
(x>0)
的图象上,
∴x1y1=4,
则有y12=4,故y1=±2不合题意舍去),
则y1=2.
由题意知y2=x2-x1-y1,y3=x3-x2-y2,y4=x4-x3-y3,…,y10=x10-x9-y9
又∵yn=
4
xn
,则:x2-4=
4
x2
,解得x2=2
2
+2.
∴y2=2
2
-2,
同理,依次得 x3=2
3
+2
2
,y3=2
3
-2
2

x4=2
4
+2
3
,y4=2
4
-2
3

x5=2
5
+2
4
,y5=2
5
-2
4


xn=2
n
+2
n-1
,yn=2
n
-2
n-1

∴y1+y2+…yn=2+2
2
-2+2
3
-2
2
+…+2
n
-2
n-1
=2
n

∴y1+y2+…y2011=2
2011

故答案为:2
2011
考点梳理
反比例函数综合题.
根据等腰直角三角形的性质,知P1的横、纵坐标相等,再结合双曲线的解析式求得该点的纵坐标;根据等腰直角三角形的性质和双曲线的解析式首先求得各个点的横坐标,再进一步求得其纵坐标,发现抵消的规律,从而求得代数式的值.
此题主要是综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标.解答本题时同学们要找出其中的规律.
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