试题
题目:
如图,P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),…P
n
(x
n
,y
n
)在函数
y=
4
x
(x>0)
的图象上,△P
1
OA
1
,△P
2
A
1
A
2
,△P
3
A
2
A
3
,…△P
n
A
n-1
A
n
都是等腰直角三角形,斜边OA
1
、A
1
A
2
、A
2
A
3
,…A
n-1
A
n
都在x轴上,则y
1
+y
2
+y
3
+…+y
2011
的值为
2
2011
2
2011
.
答案
2
2011
解:由△P
1
OA
1
是等腰直角三角形,得y
1
=x
1
,
∵P
1
(x
1
,y
1
)在函数
y=
4
x
(x>0)
的图象上,
∴x
1
y
1
=4,
则有y
1
2
=4,故y
1
=±2不合题意舍去),
则y
1
=2.
由题意知y
2
=x
2
-x
1
-y
1
,y
3
=x
3
-x
2
-y
2
,y
4
=x
4
-x
3
-y
3
,…,y
10
=x
10
-x
9
-y
9
,
又∵yn=
4
x
n
,则:x
2
-4=
4
x
2
,解得x
2
=2
2
+2.
∴y2=2
2
-2,
同理,依次得 x3=2
3
+2
2
,y3=2
3
-2
2
,
x4=2
4
+2
3
,y4=2
4
-2
3
,
x5=2
5
+2
4
,y5=2
5
-2
4
,
…
x
n
=2
n
+2
n-1
,y
n
=2
n
-2
n-1
,
∴y
1
+y
2
+…y
n
=2+2
2
-2+2
3
-2
2
+…+2
n
-2
n-1
=2
n
.
∴y
1
+y
2
+…y
2011
=2
2011
.
故答案为:2
2011
考点梳理
考点
分析
点评
反比例函数综合题.
根据等腰直角三角形的性质,知P
1
的横、纵坐标相等,再结合双曲线的解析式求得该点的纵坐标;根据等腰直角三角形的性质和双曲线的解析式首先求得各个点的横坐标,再进一步求得其纵坐标,发现抵消的规律,从而求得代数式的值.
此题主要是综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标.解答本题时同学们要找出其中的规律.
找相似题
(2013·荆州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线
y=
k
x
(k≠0)上.将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在该双曲线上,则a的值是( )
(2013·济南)如图,平行四边形OABC的顶点B,C在第一象限,点A的坐标为(3,0),点D为边AB的中点,反比例函数y=
k
x
(x>0)的图象经过C,D两点,若∠COA=α,则k的值等于( )
(2013·黑龙江)如图,Rt△ABC的顶点A在双曲线y=
k
x
的图象上,直角边BC在x轴上,∠ABC=90°,∠ACB=30°,OC=4,连接OA,∠AOB=60°,则k的值是( )
(2012·眉山)已知:如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线
y=
k
x
(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB·AC=160,有下列四个结论:
①双曲线的解析式为
y=
20
x
(x>0);
②E点的坐标是(4,8);
③sin∠COA=
4
5
;
④AC+OB=
12
5
,其中正确的结论有( )
(2012·六盘水)如图为反比例函数
y=
1
x
在第一象限的图象,点A为此图象上的一动点,过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴,垂足分别为B,C.则四边形OBAC周长的最小值为( )