试题

题目：
如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=
k
x
（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2，P点坐标为（2，-3），在反比例函数y=
k
x
的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
青果学院
答案
解：（1）∵点E、F均是反比例函数y=
k
x
上的点，四边形AOBC是矩形，
∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，
∴S△AOE=S△BOF=
|k|
2
；

（2）∵C坐标为（4，3），
∴设E（
k
3
，3），F（4，
k
4
），青果学院
如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB，
∴
EH
GB
=
EG
GF
，
∴GB=
3×(3-
k
4
)
(4-
k
3
)
=
9
4
，
在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即（3-
k
4
）2=（
9
4
）2+（
k
4
）2，青果学院
解得k=
21
8
，
∴反比例函数的解析式为：y=
21
8x
；

（3）存在．
当OP是平行四边形的边时，如图2所示：
平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．
设M（a，
21
8a
），
∵P（2，-3）的对应点O（0，0），
∴N（a-2，
21
8a
+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（
21
8a
+3）=
21
8
，
整理得4a2-8a-7=0，
解得a=
2±
11
2
，
当a=
2+
11
2
时，
21
8a
=
21×2
8(2+
11
)
=
3
11
-6
4
，
2+
11
2
-2=
11
-2
2
，
3
11
-6
4
+3=
3
11
+6
4
，
∴M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）或M（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
）．
青果学院当OP为对角线时，如图3所示：
设M（a，
21
8a
），N（b，
21
8b
），
∵P（2，-3），
∴
a+b
2
=1
21
8a
+
21
8b
2
=-
3
2
，解得
a=
2+
11
2
b=
2-
11
2
，
a=
2-
11
2
b=
2+
11
2
，
∴M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
）或M（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
），N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），
综上所述，M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）或M（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
）；M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
）或M（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
），N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
）．
解：（1）∵点E、F均是反比例函数y=
k
x
上的点，四边形AOBC是矩形，
∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，
∴S△AOE=S△BOF=
|k|
2
；

（2）∵C坐标为（4，3），
∴设E（
k
3
，3），F（4，
k
4
），青果学院
如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB，
∴
EH
GB
=
EG
GF
，
∴GB=
3×(3-
k
4
)
(4-
k
3
)
=
9
4
，
在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即（3-
k
4
）2=（
9
4
）2+（
k
4
）2，青果学院
解得k=
21
8
，
∴反比例函数的解析式为：y=
21
8x
；

（3）存在．
当OP是平行四边形的边时，如图2所示：
平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．
设M（a，
21
8a
），
∵P（2，-3）的对应点O（0，0），
∴N（a-2，
21
8a
+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（
21
8a
+3）=
21
8
，
整理得4a2-8a-7=0，
解得a=
2±
11
2
，
当a=
2+
11
2
时，
21
8a
=
21×2
8(2+
11
)
=
3
11
-6
4
，
2+
11
2
-2=
11
-2
2
，
3
11
-6
4
+3=
3
11
+6
4
，
∴M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）或M（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
）．
青果学院当OP为对角线时，如图3所示：
设M（a，
21
8a
），N（b，
21
8b
），
∵P（2，-3），
∴
a+b
2
=1
21
8a
+
21
8b
2
=-
3
2
，解得
a=
2+
11
2
b=
2-
11
2
，
a=
2-
11
2
b=
2+
11
2
，
∴M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
）或M（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
），N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），
综上所述，M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）或M（
11
-2
2
，
3
11
+6
4
）N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
）；M（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
），N（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
）或M（
2-
11
2
，
-6-3
11
4
），N（
2+
11
2
，
3
11
-6
4
）．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）直接根据反比例函数系数k的几何意义进行证明即可；
（2）作出折叠后的草图，根据反比例函数解析式表示出点EF的坐标，过点E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理计算即可求出k值；
（3）利用反比例函数解析式设出点M的坐标，然后把平行四边形OPMN看作是边PN沿PO方向平移至OM处得到的，根据点P与点O对应关系，由点M的坐标表示出点N的坐标，然后再代入函数解析式，计算即可求解．
本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义、图形反折变换的性质及平行四边形的性质，涉及面较广，难度较大．
压轴题；探究型．
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