试题

已知一次函数y=2x-k与反比例函数y=

k+2

x

的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3．
（1）分别求两个函数的关系式；
（2）求A、B两点的坐标及△AOB的面积；
（3）若直线AB上有一点P，使得△APO∽△AOB，求P点坐标．

解：（1）∵一次函数y=2x-k与反比例函数y=

k+2

x

的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3，
∴

y=6-k y= k+2 3

，
解得k=4．
∴一次函数的解析式为：y=2x-4；反比例函数的关系式为：y=

6

x

；

（2）∵一次函数的解析式为y=2x-4；反比例函数的关系式为y=

6

x

，
∴2x-4=

6

x

，解得x₁=3，x₂=-1，
∴A（3，2），B（-1，-6）；
∵令直线AB解析式y=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直线AB与x轴交点坐标为C（2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|-6|=8；

（3）∵A（3，2），B（-1，-6），
∴OA²=3²+2²=13，AB=

(3+1)2+(2+6)2

=4

5

∵△APO∽△AOB，
∴

AP

OA

=

OA

AB

，
∴OA²=AP·AB，即13=AP·4

5

，
解得AP=

13 5

20

，
∵点P在直线y=2x-4上，
∴设P（x，2x-4），
∴AP=

(3-x)2+(2-2x+4)2

，
解得x=3±

42

，
∴P点坐标为（3+

42

，2+2

42

）或（3-

42

，6-2

42

）．
解：（1）∵一次函数y=2x-k与反比例函数y=

k+2

x

的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3，
∴

y=6-k y= k+2 3

，
解得k=4．
∴一次函数的解析式为：y=2x-4；反比例函数的关系式为：y=

6

x

；

（2）∵一次函数的解析式为y=2x-4；反比例函数的关系式为y=

6

x

，
∴2x-4=

6

x

，解得x₁=3，x₂=-1，
∴A（3，2），B（-1，-6）；
∵令直线AB解析式y=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直线AB与x轴交点坐标为C（2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|-6|=8；

（3）∵A（3，2），B（-1，-6），
∴OA²=3²+2²=13，AB=

(3+1)2+(2+6)2

=4

5

∵△APO∽△AOB，
∴

AP

OA

=

OA

AB

，
∴OA²=AP·AB，即13=AP·4

5

，
解得AP=

13 5

20

，
∵点P在直线y=2x-4上，
∴设P（x，2x-4），
∴AP=

(3-x)2+(2-2x+4)2

，
解得x=3±

42

，
∴P点坐标为（3+

42

，2+2

42

）或（3-

42

，6-2

42

）．