试题

如图，已知反比例函数y=

m

x

(m＞0)在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．
（1）用含m的代数式表示四边形ODBE的面积；
（2）若y关于x的函数y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，求四边形ODBE的面积．

解：（1）设点B（a，b），则点M(

a

2

，

b

2

)，
∵反比例函数y=

m

x

(m＞0)在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，
∴

ab

4

=m，
∴ab=4m，
∴S_{四边形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE=4m-

1

2

m-

1

2

m=3m；

（2）①当2m-1=0时，得m=

1

2

，
关于x的函数为一次函数：y=-3x+

7

2

，
此时图象与x轴只有一个交点，且S_{四边形ODBE}=3m=

3

2

；
②当2m-1≠0时，关于x的函数为二次函数，
∵y关于x的函数y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，
∴△=[-2（m+1）]²-4（2m-1）（m+3）=-4m²-12m+16=0，
解得：m=1或m=-4，
∵m＞0，
∴m=1，
∴此时S_{四边形ODBE}=3m=3．
综上可得：四边形ODBE的面积为

3

2

或3．
解：（1）设点B（a，b），则点M(

a

2

，

b

2

)，
∵反比例函数y=

m

x

(m＞0)在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，
∴

ab

4

=m，
∴ab=4m，
∴S_{四边形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE=4m-

1

2

m-

1

2

m=3m；

（2）①当2m-1=0时，得m=

1

2

，
关于x的函数为一次函数：y=-3x+

7

2

，
此时图象与x轴只有一个交点，且S_{四边形ODBE}=3m=

3

2

；
②当2m-1≠0时，关于x的函数为二次函数，
∵y关于x的函数y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，
∴△=[-2（m+1）]²-4（2m-1）（m+3）=-4m²-12m+16=0，
解得：m=1或m=-4，
∵m＞0，
∴m=1，
∴此时S_{四边形ODBE}=3m=3．
综上可得：四边形ODBE的面积为

3

2

或3．