试题

如图，已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=

k1

x

的图象上，其中m，n是一元二次方程
x²-2ax+a²-1=0的两根
（1）写出m与n的数量关系；并求出a的值；
（2）设直线AB与x轴交于点C，AD⊥x轴于D点，E点与C点关于直线AD对称，连接EB交AD于P点，求AP的长度．

解：（1）将点A（1，m），B（2，n）代入反比例函数y=

k1

x

得，
m=k₁，n=

k1

2

，
即m=2n，
又∵m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的两根，
∴m+n=2a，mn=a²-1，
组成方程组得

m=2n m+n=2a mn=a2-1

，
解得a=±3．
当a=-3时，原方程可化为x²+6x+8=0，此时，m+n=-6，与图中所示m、n均为正数数矛盾，故a=3．
此时

m=2n mn=8

，解得2n²=8，n=±2；由于n为正数，故n=2，此时，m=4．
（2）由（1）计算可知，点A（1，4），B（2，2），反比例函数解析式为y=

4

x

．
设AB的解析式为y=kx+b，把A（1，4），B（2，2）分别代入解析式得

k+b=4 2k+b=2

，
解得

k=-2 b=6

，
函数解析式为y=-2x+6．
当y=0时，-2x+6=0，x=3，即C点坐标为（3，0）．由于E点与C点关于直线AD对称，D点坐标为（1，0），
则E点坐标为（-1，0）．
设EB的解析式为y=cx+t，把E（-1，0）、B（2，2）分别代入解析式得

-c+t=0 2c+t=2

，
解得

c= 2 3 t= 2 3

，函数解析式为y=

2

3

x+

2

3

．
当x=1时，y=

4

3

，即P点坐标为（1，

4

3

），AP=4-

4

3

=

8

3

．