试题

如图，菱形OABC边长为5，面积为20，且OC边在y轴上，AB边与x轴交于点D，双曲线y=

m

x

(m≠0)经过的A，直线BC与x轴交于点E．
（1）求双曲线和直线BC的解析式；
（2）若在双曲线上有一点F，使S_△ODF=S_△OBE，求点F的坐标．

解：（1）∵菱形OABC边长为5，面积为20，
∴AB=OA=OC=5，AB·OD=20，即5OD=20，解得：OD=4，
在Rt△AOD中，OA=5，OD=4，
根据勾股定理得：AD=

OA2-OD2

=3，
∴A（-4，3），
将x=-4，y=3代入反比例解析式得：3=

m

-4

，即m=-12，
则反比例解析式为y=-

12

x

；
∵BD=AB-AD=5-3=2，OD=4，
∴B（-4，-2），又C（0，-4），
代入直线BC解析式y=kx+b中得：

-4k+b=-2 b=-4

，
解得：

k=- 1 2 b=-4

，
则直线BC解析式为y=-

1

2

x-4；
（2）连接OB，如图所示，
对于直线BC：y=-

1

2

x-4，令y=0求出x=-8，
∴E（-8，0），即OE=8，
∵BD=2，
∴S_△ODF=S_△OBE=

1

2

OE·BD=

1

2

×8×2=8，
∴S_△ODF=

1

2

·OD·|y_F纵坐标|=8，即

1

2

×4×|y_F纵坐标|=8，
∴|y_F纵坐标|=4，即y_F纵坐标=±4，
将y=4代入反比例解析式得：x=-3，将y=-4代入反比例解析式得：x=3，
则满足题意F坐标为（-3，4）或（3，-4）．
解：（1）∵菱形OABC边长为5，面积为20，
∴AB=OA=OC=5，AB·OD=20，即5OD=20，解得：OD=4，
在Rt△AOD中，OA=5，OD=4，
根据勾股定理得：AD=

OA2-OD2

=3，
∴A（-4，3），
将x=-4，y=3代入反比例解析式得：3=

m

-4

，即m=-12，
则反比例解析式为y=-

12

x

；
∵BD=AB-AD=5-3=2，OD=4，
∴B（-4，-2），又C（0，-4），
代入直线BC解析式y=kx+b中得：

-4k+b=-2 b=-4

，
解得：

k=- 1 2 b=-4

，
则直线BC解析式为y=-

1

2

x-4；
（2）连接OB，如图所示，
对于直线BC：y=-

1

2

x-4，令y=0求出x=-8，
∴E（-8，0），即OE=8，
∵BD=2，
∴S_△ODF=S_△OBE=

1

2

OE·BD=

1

2

×8×2=8，
∴S_△ODF=

1

2

·OD·|y_F纵坐标|=8，即

1

2

×4×|y_F纵坐标|=8，
∴|y_F纵坐标|=4，即y_F纵坐标=±4，
将y=4代入反比例解析式得：x=-3，将y=-4代入反比例解析式得：x=3，
则满足题意F坐标为（-3，4）或（3，-4）．