试题

在直角坐标系中，函数y=

k

x

（x＞0，k为常数）的图象经过A（4，1），点B（a，b）（0＜a＜4）是双曲线上的一动点，过A作AC⊥y轴于C，点D是坐标系中的另一点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）当四边形ABCD为菱形时，试求B、D的坐标；
（3）若以A、B、C、D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线最长可达多少？

解：（1）∵x=4，y=1，
∴1=

k

4

，
∴k=4，
则y=

4

x

（3分）

（2）如图1，当四边形ABCD是菱形时，BD垂线平分AC于E，
则可得a=2，b=2，即：B（2，2），（5分）
又∵BE=ED=1，BD⊥x轴，
∴D（2，0）（7分）

（3）如图2，过B作BF⊥AC于F，
当平行四边形ABCD面积为12时，BF·AC=12，
∴BF=3，即b=4．
把y=4代入y=

k

x

得，x=1，则B（1，4）．（8分）
设BD交AC于P，PC=AP=2，CF=PF=1，
∴PB²=3²+1²=10，
∴BP=

10

，BD=2BP=2

10

＞AC=4，（9分）
当四边形AD₁BC面积为12时，过D₁作D₁M⊥CA于M，D₁M=BF=3，CF=AM=1，CD₁²=5²+3²=34，
∴CD1=

34

＞AB=

18

．（10分）
当平行四边形ABD₂C的面积为12时，
过D₂作D₂N⊥直线AC于N，CN=AF=3，D₂N=BF=3，AN=7．
∴AD₂²=7²+3²=58，AD2=

58

＞BC=

10

，（11分）

58

＞2

10

＞

34

，
∴对角线最长可达

58

．　（12分）
解：（1）∵x=4，y=1，
∴1=

k

4

，
∴k=4，
则y=

4

x

（3分）

（2）如图1，当四边形ABCD是菱形时，BD垂线平分AC于E，
则可得a=2，b=2，即：B（2，2），（5分）
又∵BE=ED=1，BD⊥x轴，
∴D（2，0）（7分）

（3）如图2，过B作BF⊥AC于F，
当平行四边形ABCD面积为12时，BF·AC=12，
∴BF=3，即b=4．
把y=4代入y=

k

x

得，x=1，则B（1，4）．（8分）
设BD交AC于P，PC=AP=2，CF=PF=1，
∴PB²=3²+1²=10，
∴BP=

10

，BD=2BP=2

10

＞AC=4，（9分）
当四边形AD₁BC面积为12时，过D₁作D₁M⊥CA于M，D₁M=BF=3，CF=AM=1，CD₁²=5²+3²=34，
∴CD1=

34

＞AB=

18

．（10分）
当平行四边形ABD₂C的面积为12时，
过D₂作D₂N⊥直线AC于N，CN=AF=3，D₂N=BF=3，AN=7．
∴AD₂²=7²+3²=58，AD2=

58

＞BC=

10

，（11分）

58

＞2

10

＞

34

，
∴对角线最长可达

58

．　（12分）