试题

关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0的两实根x₁、x₂满足|x₁+x₂|=x₁x₂-1．点A为直线y=x上一点，过A作AC⊥x轴交x轴于C，交双曲线y=

k

x

于B，求OB²-AB²的值．

解：由根与系数的关系，得x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，
当2k-2≥0时，
∵|x₁+x₂|=x₁·x₂-1，
∴2k-2=k²-1，
∴k=1（此时不合题意），
当2k-2＜0时，
∵|x₁+x₂|=x₁·x₂-1，
∴2-2k=k²-1，
∴k₁=1（舍去），k₂=-3．
故k=-3，
根据题意画出图象：
∵点A为直线y=x上一点，
∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2OC·BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC·BC）=-2OC·BC=-2k=6．
解：由根与系数的关系，得x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，
当2k-2≥0时，
∵|x₁+x₂|=x₁·x₂-1，
∴2k-2=k²-1，
∴k=1（此时不合题意），
当2k-2＜0时，
∵|x₁+x₂|=x₁·x₂-1，
∴2-2k=k²-1，
∴k₁=1（舍去），k₂=-3．
故k=-3，
根据题意画出图象：
∵点A为直线y=x上一点，
∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2OC·BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC·BC）=-2OC·BC=-2k=6．