试题

如图，直线y=kx+b交反比例函数y=

8 3

x

的图象于点A（4，m）和点B，交x轴于点C，交y轴于点E（0，-2

3

）
（1）求C点的坐标；
（2）在y轴上是否存在点D使CD=DA？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）取C点关于y轴的对称点F，连EF，点P为△CEF外一点，连PE，PF，PC，当P在△CEF外运动时，若∠EPF=30°，有两个结论：①PE²+PF²=PC² ②PE+PF=PC+EF，其中只有一个结论正确，作选择并证明．

解：（1）∵点A（4，m）在反比例函数y=

8 3

x

的图象上，
∴m=

8 3

4

=2

3

，
∴点A的坐标为（4，2

3

），
∵点A（4，2

3

），点E（0，-2

3

）都在直线y=kx+b上，
∴

4k+b=2 3 b=-2 3

，
解得

k= 3 b=-2 3

，
∴直线解析式为y=

3

x-2

3

，
令y=0，则

3

x-2

3

=0，
解得x=2，
∴点C的坐标为（2，0）；

（2）y轴上存在点D（0，2

3

），使CD=DA．
理由如下：设点D的坐标为（0，y），
则CD=

(2-0)2+(0-y)2

，
AD=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
∵CD=DA，
∴

(2-0)2+(0-y)2

=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
两边平方并整理得，4

3

y-24=0，
解得y=2

3

，
∴y轴上存在点D（0，2

3

），使CD=DA；

（3）结论①PE²+PF²=PC²正确．
理由如下：∵点C坐标为（2，0），点E坐标为（0，-2

3

），
∴CE=

CO2+OE2

=

22+(2 3 )2

=4，tan∠ECO=

OE

OC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ECO=60°，
又∵点F、C关于y轴对称，
∴FC=2+2=4，
∴FC=CE，
∴△CEF是等边三角形，
如图，把△PCE绕点C顺时针旋转60°得到△P′C′E，连接PP′，
则点E与点F重合，△PP′C为等边三角形，
根据三角形的外角性质，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′，
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′，
∵∠EPF=30°，
∴∠PFP′=30°+60°=90°，
∴△PFP′是直角三角形，
即P′E′²+PF²=PP′²，
∴PE²+PF²=PC²．
故结论①正确，结论②错误．
解：（1）∵点A（4，m）在反比例函数y=

8 3

x

的图象上，
∴m=

8 3

4

=2

3

，
∴点A的坐标为（4，2

3

），
∵点A（4，2

3

），点E（0，-2

3

）都在直线y=kx+b上，
∴

4k+b=2 3 b=-2 3

，
解得

k= 3 b=-2 3

，
∴直线解析式为y=

3

x-2

3

，
令y=0，则

3

x-2

3

=0，
解得x=2，
∴点C的坐标为（2，0）；

（2）y轴上存在点D（0，2

3

），使CD=DA．
理由如下：设点D的坐标为（0，y），
则CD=

(2-0)2+(0-y)2

，
AD=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
∵CD=DA，
∴

(2-0)2+(0-y)2

=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
两边平方并整理得，4

3

y-24=0，
解得y=2

3

，
∴y轴上存在点D（0，2

3

），使CD=DA；

（3）结论①PE²+PF²=PC²正确．
理由如下：∵点C坐标为（2，0），点E坐标为（0，-2

3

），
∴CE=

CO2+OE2

=

22+(2 3 )2

=4，tan∠ECO=

OE

OC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ECO=60°，
又∵点F、C关于y轴对称，
∴FC=2+2=4，
∴FC=CE，
∴△CEF是等边三角形，
如图，把△PCE绕点C顺时针旋转60°得到△P′C′E，连接PP′，
则点E与点F重合，△PP′C为等边三角形，
根据三角形的外角性质，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′，
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′，
∵∠EPF=30°，
∴∠PFP′=30°+60°=90°，
∴△PFP′是直角三角形，
即P′E′²+PF²=PP′²，
∴PE²+PF²=PC²．
故结论①正确，结论②错误．