试题

将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=

1

x

的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=

1

3

∠AOB．请研究以下问题：
（1）设P(a，

1

a

)、R(b，

1

b

)，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=

1

3

∠AOB．
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

解：（1）设直线OM对应的函数表达式y=kx．
根据题意，得M（b，

1

a

），
则有bk=

1

a

，即k=

1

ab

，
则直线OM对应的函数表达式y=

1

ab

x；

（2）根据题意，得Q（a，

1

b

）．
当x=a时，则y=

1

b

，则Q点在直线OM上；
根据题意，得四边形PQRM是矩形，则QS=SR，
∴∠SQR=∠SRQ．
∵OP=PS，
∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
∴∠MOB=

1

3

∠AOB；

（3）可以运用上述方法作钝角的补角（锐角）的三等分线，再进一步构造60°的角．
利用60°减去所求的角即是我们要的角度．
解：（1）设直线OM对应的函数表达式y=kx．
根据题意，得M（b，

1

a

），
则有bk=

1

a

，即k=

1

ab

，
则直线OM对应的函数表达式y=

1

ab

x；

（2）根据题意，得Q（a，

1

b

）．
当x=a时，则y=

1

b

，则Q点在直线OM上；
根据题意，得四边形PQRM是矩形，则QS=SR，
∴∠SQR=∠SRQ．
∵OP=PS，
∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
∴∠MOB=

1

3

∠AOB；

（3）可以运用上述方法作钝角的补角（锐角）的三等分线，再进一步构造60°的角．
利用60°减去所求的角即是我们要的角度．