试题

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为（4，2），OG边与y轴重合．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM的位置关系，并说明理由；
（4）在GF所在直线上，是否存在一点Q，使△AOQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的Q点坐标．

（1）解：△OGA∽△NPO，
理由是：∵将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，
∴∠PNO=∠AOG，
∴△OGA∽△NPO；

（2）解：∵△OGA∽△NPO，
∴

AG

OP

=

OG

NP

，
∵OP=OG=2，PN=OM=OE=4，
∴AG=1，
∴A（1，2），
设过点A的反比例函数解析式是y=

k

x

，代入得：k=2，
即过点A的反比例函数解析式是y=

2

x

；

（3）解：AB⊥OM，
理由是：∵把x=4代入y=

2

x

得：y=

1

2

，
即B（4，

1

2

），
∴BE=

1

2

，BF=2-

1

2

=

3

2

，
∵A（1，2），
∴AG=1，OG=2，
∴AF=4-1=3，
∴

AG

BF

=

1

3 2

=

2

3

，

OG

AF

=

2

3

，
∴

AG

BF

=

OG

AF

，
∵∠AGO=∠F=90°，
∴△AGO∽△BFA，
∴∠OAG=∠ABF，
∵∠FAB+∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠OAG+∠FAB=90°，
∴∠OAB=180°-90°=90°，
∴AB⊥OM．

（4）如图所示：
当AO=AQ₁=

5

时，Q₁（1+

5

，2）；
当AO=OQ₂=

5

时，Q ₂（-1，2），
当AO=AQ₃=

5

时，Q ₃（1-

5

，2），
当AQ₄=OQ₄时，Q ₄（-1.5，2）．
故Q点的坐标为：Q （1+

5

，2）或Q（1-

5

，2）或Q（-1，2）或Q（-1.5，2）．
（1）解：△OGA∽△NPO，
理由是：∵将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，
∴∠PNO=∠AOG，
∴△OGA∽△NPO；

（2）解：∵△OGA∽△NPO，
∴

AG

OP

=

OG

NP

，
∵OP=OG=2，PN=OM=OE=4，
∴AG=1，
∴A（1，2），
设过点A的反比例函数解析式是y=

k

x

，代入得：k=2，
即过点A的反比例函数解析式是y=

2

x

；

（3）解：AB⊥OM，
理由是：∵把x=4代入y=

2

x

得：y=

1

2

，
即B（4，

1

2

），
∴BE=

1

2

，BF=2-

1

2

=

3

2

，
∵A（1，2），
∴AG=1，OG=2，
∴AF=4-1=3，
∴

AG

BF

=

1

3 2

=

2

3

，

OG

AF

=

2

3

，
∴

AG

BF

=

OG

AF

，
∵∠AGO=∠F=90°，
∴△AGO∽△BFA，
∴∠OAG=∠ABF，
∵∠FAB+∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠OAG+∠FAB=90°，
∴∠OAB=180°-90°=90°，
∴AB⊥OM．

（4）如图所示：
当AO=AQ₁=

5

时，Q₁（1+

5

，2）；
当AO=OQ₂=

5

时，Q ₂（-1，2），
当AO=AQ₃=

5

时，Q ₃（1-

5

，2），
当AQ₄=OQ₄时，Q ₄（-1.5，2）．
故Q点的坐标为：Q （1+

5

，2）或Q（1-

5

，2）或Q（-1，2）或Q（-1.5，2）．