试题

如图，直线AB与坐标轴的交点分别为A、B，P是函数y=

1

2x

在第一象限的图象上的一点，它的坐标是（a，b），PM⊥x轴，PN⊥y轴，AB与PM、PN分别交于点E、F，OA=OB=1．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点E、F的坐标（用a、b表示）；
（3）△OAF与△EBO是否一定相似？请说明理由．

解：（1）∵OA=OB=1，即可得出A，B两点的坐标，
∴A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
∴

k+b=0 b=1

，
∴k=-1，b=1，
∴y=-x+1，
（2）x=a代入y=-x+1，
∴E（a，-a+1），y=-a+1，y=b代入，x=1-b．
∴F（1-b，b），

（3）△OAF与△EBO一定相似．
连接OE，OF．过点E作ED⊥BO于点D，
E（a，-a+1），B（0，1），
则BD=1-（-a+1）=a，DE=a，
故BE=

DE2+BD2

=

2

a．
F（1-b，b），A（1，0）．
∴AF=

2

b．（1分）b=

1

2a

，

2 b

1

=

1

2 a

，

OB

BE

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

，
∵P（a，b）是函数y=

1

2x

上的点，
∴b=

1

2a

，
∴2ab=1．
∴

2 b

1

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

∴

AF

OA

=

OB

BE

．
又∠OAB=∠OBA，
∴△OAF∽△EBO．
解：（1）∵OA=OB=1，即可得出A，B两点的坐标，
∴A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
∴

k+b=0 b=1

，
∴k=-1，b=1，
∴y=-x+1，
（2）x=a代入y=-x+1，
∴E（a，-a+1），y=-a+1，y=b代入，x=1-b．
∴F（1-b，b），

（3）△OAF与△EBO一定相似．
连接OE，OF．过点E作ED⊥BO于点D，
E（a，-a+1），B（0，1），
则BD=1-（-a+1）=a，DE=a，
故BE=

DE2+BD2

=

2

a．
F（1-b，b），A（1，0）．
∴AF=

2

b．（1分）b=

1

2a

，

2 b

1

=

1

2 a

，

OB

BE

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

，
∵P（a，b）是函数y=

1

2x

上的点，
∴b=

1

2a

，
∴2ab=1．
∴

2 b

1

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

∴

AF

OA

=

OB

BE

．
又∠OAB=∠OBA，
∴△OAF∽△EBO．