试题

（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．
（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H．试证明：EF∥GH．

（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°．
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH．
∴四边形CGHD为平行四边形．
∴AB∥CD．

（2）证明：连结MF，NE．
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂）．
∵点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k．
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x2y2=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
由（1）中的结论可知：MN∥EF．  

（3）证明：连接FM、EN、MN，
同（2）可证MN∥EF，
同法可证GH∥MN，
故EF∥GH．
（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°．
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH．
∴四边形CGHD为平行四边形．
∴AB∥CD．

（2）证明：连结MF，NE．
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂）．
∵点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k．
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x2y2=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
由（1）中的结论可知：MN∥EF．  

（3）证明：连接FM、EN、MN，
同（2）可证MN∥EF，
同法可证GH∥MN，
故EF∥GH．