试题

如图，已知点A（2，4）在反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象S₁上，将双曲线S₁沿y轴翻折后得到的是反比例函数y=-

k

x

的图象S₂，直线AB交y轴于点B（0，3），交x轴于点C，P为线段BC上的一个动点（点P与B、C不重合），过P作x轴的垂线与双曲线S₂在第二象限相交于点E．
（1）求双曲线S₂和直线AB的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，线段PE的长为h，求h与m之间的函数关系，并写出自变量m的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点P，使得P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（2，4）在y=

k

x

的图象上，则k=8，
∴双曲线S₂的解析式为y=-

8

x

，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
则

2a+b=4 b=3

，
∴y=

1

2

x+3；
∴y=

1

2

x+3；

（2）由（1）可设P（m，

1

2

m+3），
又PE⊥x轴，则E点的横坐标与P点相同为m，
点E在双曲线S₂上，
∴y_E=-

8

m

，即E（m，-

8

m

），
∴h=y_E-y_P=-

8

m

-

1

2

m-3（-6＜m＜0）；

（3）分两种情况：
①若△AEP∽△COB，如图1，
此时，∠AEP=∠COB=90°，即AE⊥EP，
则y_E=y_A=4，x_E=-2；
∴E（-2，4）；
又EP⊥x轴，则x_P=x_E=-2，
y_P=

1

2

x_P+3=

1

2

×（-2）+3=2；
∴P（-2，2）；
②若△EAP∽△COB，如图2，
此时∠EAP=∠COB=90°，过点A作AF⊥EP于F，
则有△EFA∽△COB，
∴

EF

CO

=

AF

BO

；
对于直线y=

1

2

x+3；
当y=0时，x=-6，
则C（-6，0）；
∴OC=6；
又P点的坐标为（m，

1

2

m+3），则E（m，-

8

m

），F（m，4），
∴EF=-

8

m

-4，AF=2-m；
可得：

- 8 m -4

6

=

2-m

3

，解得：m²-4m-4=0；
∴m₁=2-2

2

，m₂=2+2

2

；
∴m=2-2

2

；
∴

1

2

m+3=4-

2

∴P(2-2

2

，4-

2

)．
综上所述，存在点P（-2，2）或（2-2

2

，4-

2

），使得以P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似．

解：（1）∵点A（2，4）在y=

k

x

的图象上，则k=8，
∴双曲线S₂的解析式为y=-

8

x

，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
则

2a+b=4 b=3

，
∴y=

1

2

x+3；
∴y=

1

2

x+3；

（2）由（1）可设P（m，

1

2

m+3），
又PE⊥x轴，则E点的横坐标与P点相同为m，
点E在双曲线S₂上，
∴y_E=-

8

m

，即E（m，-

8

m

），
∴h=y_E-y_P=-

8

m

-

1

2

m-3（-6＜m＜0）；

（3）分两种情况：
①若△AEP∽△COB，如图1，
此时，∠AEP=∠COB=90°，即AE⊥EP，
则y_E=y_A=4，x_E=-2；
∴E（-2，4）；
又EP⊥x轴，则x_P=x_E=-2，
y_P=

1

2

x_P+3=

1

2

×（-2）+3=2；
∴P（-2，2）；
②若△EAP∽△COB，如图2，
此时∠EAP=∠COB=90°，过点A作AF⊥EP于F，
则有△EFA∽△COB，
∴

EF

CO

=

AF

BO

；
对于直线y=

1

2

x+3；
当y=0时，x=-6，
则C（-6，0）；
∴OC=6；
又P点的坐标为（m，

1

2

m+3），则E（m，-

8

m

），F（m，4），
∴EF=-

8

m

-4，AF=2-m；
可得：

- 8 m -4

6

=

2-m

3

，解得：m²-4m-4=0；
∴m₁=2-2

2

，m₂=2+2

2

；
∴m=2-2

2

；
∴

1

2

m+3=4-

2

∴P(2-2

2

，4-

2

)．
综上所述，存在点P（-2，2）或（2-2

2

，4-

2

），使得以P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似．