试题

如图1，点A在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，B点在x轴上，且∠OAB=90°，OA=AB，作AC⊥OB于C．
①求点A的坐标．
②取AB的中点E，作∠ECF=90°交AO于F，试通过计算说明EF²与OF²+EB²的大小关系．
③如图2，过点C作∠ECF=90°交AB于E，交AO于F，②中的结论是否仍成立证明你的结论．

解：
（1）∵△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，
∴OA=OC，
∵A在y=

4

x

的图象上，
∴A（2，2）

（2）根据（1）可以得到AC=OC=2，
∴AB=2

2

∵E为AB的中点，∠ECF=90°交AO于F，
又∵△AOB是等腰直角三角形
∴四边形AECF是正方形，
∴F是OA的中点，
∴EF=

1

2

OB=2，OF=BE=

2

，
∴EF²⁼OF²+EB²

（3）连接AC，
∴∠ACB=∠EFC=90°
∴∠ACF=∠ECB，
∵AC=BC，∠EBC=∠CAF=45°
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∵OA=OB
∴OF=AE，
∴EF²=AF²+AE²=BE²+OF²．
解：
（1）∵△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，
∴OA=OC，
∵A在y=

4

x

的图象上，
∴A（2，2）

（2）根据（1）可以得到AC=OC=2，
∴AB=2

2

∵E为AB的中点，∠ECF=90°交AO于F，
又∵△AOB是等腰直角三角形
∴四边形AECF是正方形，
∴F是OA的中点，
∴EF=

1

2

OB=2，OF=BE=

2

，
∴EF²⁼OF²+EB²

（3）连接AC，
∴∠ACB=∠EFC=90°
∴∠ACF=∠ECB，
∵AC=BC，∠EBC=∠CAF=45°
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∵OA=OB
∴OF=AE，
∴EF²=AF²+AE²=BE²+OF²．